Страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

319. Хватит ли 9 $m^2$ жести для изготовления 20 ведер формы равностороннего цилиндра высотой 30 см, если на швы используется 1 % площади боковой поверхности ведра?

Дано:
Общая площадь жести $S_{общ} = 9 \, \text{м}^2$
Количество ведер $N = 20$
Форма ведра: равносторонний цилиндр ($H = 2R$, где $H$ - высота, $R$ - радиус основания)
Высота ведра $H = 30 \, \text{см}$
Процент площади на швы $P_{швы} = 1\%$ от площади боковой поверхности ведра

Перевод в СИ:
$H = 30 \, \text{см} = 0.3 \, \text{м}$

Найти:
Хватит ли $S_{общ}$ жести для изготовления 20 ведер?

Решение:

Для решения задачи определим площадь жести, требуемую для изготовления одного ведра, с учетом площади, необходимой для швов. Затем умножим эту площадь на количество ведер и сравним полученное значение с имеющейся общей площадью жести.

1. Определим радиус основания ведра. Поскольку цилиндр является равносторонним, его высота $H$ равна его диаметру $D$. Диаметр $D$ равен двум радиусам $2R$. Таким образом, $H = 2R$. Отсюда, радиус $R$ равен половине высоты: $R = \frac{H}{2} = \frac{0.3 \, \text{м}}{2} = 0.15 \, \text{м}$.

2. Вычислим полезную площадь поверхности одного ведра. Ведро имеет дно (площадь круга) и боковую поверхность (площадь боковой поверхности цилиндра). Верхняя часть ведра открыта. Площадь дна $S_{дно} = \pi R^2$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi R H$.
Полезная площадь ведра (без учета швов) $S_{ведро, полезная} = S_{дно} + S_{бок} = \pi R^2 + 2\pi R H$.

Подставим $R = H/2$ в формулу для полезной площади: $S_{ведро, полезная} = \pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{H}{2}\right) H = \pi \frac{H^2}{4} + \pi H^2 = \pi H^2 \left(\frac{1}{4} + 1\right) = \frac{5}{4}\pi H^2 = 1.25 \pi H^2$.

3. Определим площадь жести, используемую на швы. По условию, на швы расходуется $1\%$ от площади боковой поверхности ведра. $S_{швы} = 0.01 \times S_{бок}$.
Мы уже определили, что $S_{бок} = \pi H^2$.
Тогда $S_{швы} = 0.01 \times \pi H^2$.

4. Найдем общую площадь жести, необходимую для изготовления одного ведра, с учетом швов: $S_{одно} = S_{ведро, полезная} + S_{швы} = 1.25 \pi H^2 + 0.01 \pi H^2 = (1.25 + 0.01) \pi H^2 = 1.26 \pi H^2$.

Подставим численное значение $H = 0.3 \, \text{м}$: $S_{одно} = 1.26 \times \pi \times (0.3 \, \text{м})^2 = 1.26 \times \pi \times 0.09 \, \text{м}^2 = 0.1134 \pi \, \text{м}^2$.

5. Вычислим общую площадь жести, необходимую для изготовления 20 ведер: $S_{необходимо} = N \times S_{одно} = 20 \times 0.1134 \pi \, \text{м}^2 = 2.268 \pi \, \text{м}^2$.

Используя значение $\pi \approx 3.14159$: $S_{необходимо} \approx 2.268 \times 3.14159 \, \text{м}^2 \approx 7.1256 \, \text{м}^2$.

6. Сравним требуемую площадь с имеющейся площадью жести: Необходимая площадь $S_{необходимо} \approx 7.1256 \, \text{м}^2$.
Имеющаяся площадь $S_{общ} = 9 \, \text{м}^2$.
Поскольку $7.1256 \, \text{м}^2 < 9 \, \text{м}^2$, имеющейся жести хватит для изготовления 20 ведер.

Ответ:
Да, 9 м² жести хватит для изготовления 20 ведер.

320. a) Чему равно отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения?

б) Найдите площадь поверхности цилиндра, если площади его основания и осевого сечения равны $Q$ и $S$ соответственно.

a) Чему равно отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения?

Дано:

Цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $h$.

Найти:

Отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения ($S_{бок}/S_{ос}$).

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра ($2r$) и его высоте ($h$).

Площадь осевого сечения цилиндра ($S_{ос}$) вычисляется по формуле: $S_{ос} = (2r) \cdot h = 2rh$.

Найдем отношение площади боковой поверхности к площади осевого сечения:

$\frac{S_{бок}}{S_{ос}} = \frac{2 \pi r h}{2 r h}$

Сократим общие множители $2$, $r$ и $h$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_{бок}}{S_{ос}} = \pi$

Ответ: $\pi$

б) Найдите площадь поверхности цилиндра, если площади его основания и осевого сечения равны Q и S соответственно.

Дано:

Площадь основания цилиндра $Q$.

Площадь осевого сечения цилиндра $S$.

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$).

Решение:

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а высота цилиндра — $h$.

Площадь основания цилиндра ($Q$) выражается формулой: $Q = \pi r^2$.

Площадь осевого сечения цилиндра ($S$) выражается формулой: $S = 2r h$.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2Q$

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Из формулы площади осевого сечения $S = 2rh$ выразим произведение $rh$: $rh = \frac{S}{2}$.

Подставим это выражение для $rh$ в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = 2 \pi \left(\frac{S}{2}\right)$

$S_{бок} = \pi S$

Теперь подставим полученное выражение для $S_{бок}$ в формулу для $S_{полн}$:

$S_{полн} = \pi S + 2Q$

Ответ: $\pi S + 2Q$

321. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $9\sqrt{2}$ см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите высоту равностороннего цилиндра, вписанного в эту пирамиду.

Дано:

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды $L = 9\sqrt{2}$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$.

Цилиндр равносторонний, то есть его высота $h_ц$ равна диаметру $2r_ц$.

Перевод в СИ:

Поскольку все исходные данные выражены в сантиметрах, и нет требования к конечному ответу в единицах СИ, перевод не требуется. Расчеты будут вестись в сантиметрах.

Найти:

Высота равностороннего цилиндра $h_ц$.

Решение:

Пусть $S$ - вершина пирамиды, $ABC$ - ее основание, $O$ - центр основания.

1. Находим высоту пирамиды ($H_п$) и радиус описанной окружности основания ($R_{осн}$).

В правильной треугольной пирамиде проекцией бокового ребра на плоскость основания является радиус описанной окружности основания. Треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией и высотой пирамиды, является прямоугольным. Пусть $H_п$ - высота пирамиды, $R_{осн}$ - радиус описанной окружности основания.

Используем тригонометрические соотношения:

$H_п = L \sin \alpha = 9\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} = 9$ см.

$R_{осн} = L \cos \alpha = 9\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} = 9$ см.

Ответ: Высота пирамиды $H_п = 9$ см, радиус описанной окружности основания $R_{осн} = 9$ см.

2. Находим радиус вписанной окружности основания ($r_{осн}$).

Для правильного (равностороннего) треугольника радиус вписанной окружности $r_{осн}$ связан с радиусом описанной окружности $R_{осн}$ соотношением $r_{осн} = \frac{R_{осн}}{2}$.

$r_{осн} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Ответ: Радиус вписанной окружности основания $r_{осн} = 4.5$ см.

3. Находим высоту равностороннего цилиндра ($h_ц$).

Цилиндр вписан в пирамиду таким образом, что его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а верхнее основание касается боковых граней пирамиды. Ось цилиндра совпадает с высотой пирамиды.

Пусть $h_ц$ - высота цилиндра, $r_ц$ - его радиус. По условию, цилиндр равносторонний, то есть $h_ц = 2r_ц$.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вершина которого совпадает с вершиной пирамиды, а основание - это два радиуса вписанной окружности основания ($2r_{осн}$). Высота этого треугольника - это высота пирамиды ($H_п$).

В этом сечении вписанный цилиндр будет представлен прямоугольником высотой $h_ц$ и шириной $2r_ц$. Вершина пирамиды и верхний край сечения цилиндра образуют маленький треугольник, подобный большому сечению пирамиды.

Высота маленького треугольника будет $H_п - h_ц$, а его "основание" (половина ширины) будет $r_ц$.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H_п - h_ц}{r_ц} = \frac{H_п}{r_{осн}}$

Теперь подставим $r_ц = \frac{h_ц}{2}$ в уравнение:

$\frac{H_п - h_ц}{\frac{h_ц}{2}} = \frac{H_п}{r_{осн}}$

$2 \cdot \frac{H_п - h_ц}{h_ц} = \frac{H_п}{r_{осн}}$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение для $h_ц$:

$2 r_{осн} (H_п - h_ц) = H_п h_ц$

$2 H_п r_{осн} - 2 h_ц r_{осн} = H_п h_ц$

$2 H_п r_{осн} = H_п h_ц + 2 h_ц r_{осн}$

$2 H_п r_{осн} = h_ц (H_п + 2 r_{осн})$

Выразим $h_ц$:

$h_ц = \frac{2 H_п r_{осн}}{H_п + 2 r_{осн}}$

Подставим найденные значения $H_п = 9$ см и $r_{осн} = 4.5$ см:

$h_ц = \frac{2 \cdot 9 \cdot 4.5}{9 + 2 \cdot 4.5}$

$h_ц = \frac{18 \cdot 4.5}{9 + 9}$

$h_ц = \frac{81}{18}$

$h_ц = 4.5$ см.

Ответ: Высота равностороннего цилиндра $h_ц = 4.5$ см.

Ответ:

Высота равностороннего цилиндра составляет $4.5$ см.

322. Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с ней угол $\alpha$. В пирамиду вписан цилиндр, высота которого равна радиусу его основания. Найдите радиус основания цилиндра.

Дано:

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $a$.

Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания.

Третья боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

В пирамиду вписан цилиндр, высота которого равна радиусу его основания ($h_c = r_c$).

Перевод в СИ:

Параметр $a$ является длиной и остается в своем символьном виде.

Угол $\alpha$ остается в символьном виде.

Найти:

Радиус основания цилиндра $r_c$.

Решение:

Пусть основание пирамиды — правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Поскольку две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, их общая линия пересечения перпендикулярна этой плоскости. Пусть это будут грани $SAB$ и $SAC$. Тогда ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $SA$ является высотой пирамиды, $H = SA$, а точка $A$ — это проекция вершины $S$ на плоскость основания.

Найдем высоту пирамиды $H$. Третья боковая грань $SBC$ образует угол $\alpha$ с плоскостью основания. Для нахождения этого угла проведем из вершины $A$ перпендикуляр к стороне $BC$ в плоскости основания. Поскольку $\triangle ABC$ — правильный, этот перпендикуляр $AM$ будет медианой, где $M$ — середина $BC$. Длина $AM$ (высота правильного треугольника) равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как $SA \perp$ плоскости $ABC$ и $AM$ лежит в этой плоскости, то $SA \perp AM$. По теореме о трех перпендикулярах, если $AM \perp BC$ и $SA \perp AM$, то $SM \perp BC$. Следовательно, угол между гранью $SBC$ и плоскостью основания $ABC$ равен $\angle SMA$. По условию $\angle SMA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAM$ (с прямым углом при $A$).

$SA = H$

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Тогда $\tan \alpha = \frac{SA}{AM} = \frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$.

Отсюда высота пирамиды $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha$.

Цилиндр вписан в пирамиду. Это означает, что его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а верхнее основание является окружностью, касающейся всех трех боковых граней пирамиды. Ось цилиндра параллельна высоте пирамиды $SA$.

Пусть $r_c$ — радиус основания цилиндра, а $h_c$ — его высота. По условию, $h_c = r_c$.

Верхнее основание цилиндра — это вписанная окружность в сечении пирамиды, параллельном основанию, на высоте $h_c$. Пусть это сечение образует треугольник $A'B'C'$. Треугольник $A'B'C'$ подобен треугольнику $ABC$.

Высота малой пирамиды $S-A'B'C'$ (от вершины $S$ до плоскости верхнего основания цилиндра) равна $H - h_c$.

Коэффициент подобия $k$ между пирамидой $S-A'B'C'$ и $S-ABC$ равен отношению их высот:

$k = \frac{H - h_c}{H} = 1 - \frac{h_c}{H}$.

Радиус вписанной окружности в $\triangle A'B'C'$ равен $r_c$. Он связан с радиусом вписанной окружности в $\triangle ABC$ ($r_{in}$) через коэффициент подобия:

$r_c = k \cdot r_{in}$.

Найдем радиус вписанной окружности в основании пирамиды ($r_{in}$). Для правильного треугольника со стороной $a$, $r_{in} = \frac{\text{площадь}}{\text{полупериметр}}$.

Площадь правильного треугольника $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

Полупериметр $p = \frac{3a}{2}$.

$r_{in} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3}{2}a} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь подставим $k$ и $r_{in}$ в формулу для $r_c$:

$r_c = \left(1 - \frac{h_c}{H}\right) r_{in}$.

Так как $h_c = r_c$, получаем:

$r_c = \left(1 - \frac{r_c}{H}\right) r_{in}$.

$r_c = r_{in} - \frac{r_c r_{in}}{H}$.

$r_c + \frac{r_c r_{in}}{H} = r_{in}$.

$r_c \left(1 + \frac{r_{in}}{H}\right) = r_{in}$.

$r_c \left(\frac{H + r_{in}}{H}\right) = r_{in}$.

$r_c = \frac{H r_{in}}{H + r_{in}}$.

Теперь подставим выражения для $H$ и $r_{in}$:

$r_c = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha\right) + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}$.

Вычислим числитель:

$\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \frac{a^2 (\sqrt{3})^2}{12}\tan\alpha = \frac{3a^2}{12}\tan\alpha = \frac{a^2}{4}\tan\alpha$.

Вычислим знаменатель, вынеся общий множитель $\frac{a\sqrt{3}}{6}$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha + \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \left(3\tan\alpha + 1\right)$.

Теперь подставим обратно в выражение для $r_c$:

$r_c = \frac{\frac{a^2}{4}\tan\alpha}{\frac{a\sqrt{3}}{6}(3\tan\alpha + 1)}$.

$r_c = \frac{a^2\tan\alpha}{4} \cdot \frac{6}{a\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1)}$.

$r_c = \frac{6a^2\tan\alpha}{4a\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1)}$.

Сократим коэффициенты и $a$:

$r_c = \frac{3a\tan\alpha}{2\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1)}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$r_c = \frac{3a\tan\alpha \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}(3\tan\alpha + 1) \cdot \sqrt{3}}$.

$r_c = \frac{3a\sqrt{3}\tan\alpha}{2 \cdot 3 (3\tan\alpha + 1)}$.

$r_c = \frac{a\sqrt{3}\tan\alpha}{2(3\tan\alpha + 1)}$.

Ответ:

Радиус основания цилиндра $r_c = \frac{a\sqrt{3}\tan\alpha}{2(3\tan\alpha + 1)}$.

323. Правильный тетраэдр $OABC$, ребро которого равно $b$, и цилиндр расположены так, что вершина $O$ тетраэдра является центром одного основания цилиндра, а вершины $A, B, C$ лежат на окружности другого основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Дано
Правильный тетраэдр $OABC$.
Длина ребра тетраэдра: $OA = OB = OC = AB = BC = CA = b$.
Вершина $O$ тетраэдра является центром одного основания цилиндра.
Вершины $A, B, C$ тетраэдра лежат на окружности другого основания цилиндра.

Найти:
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$.

Решение
Пусть $r$ - радиус основания цилиндра, $h$ - высота цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$.
Высота цилиндра $h$ равна высоте правильного тетраэдра, опущенной из вершины $O$ на плоскость основания $ABC$.
Радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Так как тетраэдр правильный, треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $b$.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, определяется формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
В нашем случае сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $b$, поэтому радиус основания цилиндра $r = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{b\sqrt{3}}{3}$.
Для вычисления высоты тетраэдра $h$ (которая является высотой цилиндра) рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $OA$ тетраэдра, высотой $OM$ (где $M$ - центр основания $ABC$ и центр второго основания цилиндра) и радиусом $AM$ описанной окружности основания $ABC$.
Длина ребра тетраэдра $OA = b$.
Радиус описанной окружности $AM = r = \frac{b\sqrt{3}}{3}$.
По теореме Пифагора для треугольника $OMA$: $OM^2 + AM^2 = OA^2$.
То есть $h^2 + r^2 = b^2$.
Вычислим $h^2$: $h^2 = b^2 - r^2 = b^2 - \left(\frac{b\sqrt{3}}{3}\right)^2 = b^2 - \frac{3b^2}{9} = b^2 - \frac{b^2}{3} = \frac{3b^2 - b^2}{3} = \frac{2b^2}{3}$.
Следовательно, высота цилиндра $h = \sqrt{\frac{2b^2}{3}} = \frac{b\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{b\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{b\sqrt{6}}{3}$.
Теперь подставим значения $r = \frac{b\sqrt{3}}{3}$ и $h = \frac{b\sqrt{6}}{3}$ в формулу для площади полной поверхности цилиндра:
$S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
$S_{полн} = 2 \pi \left(\frac{b\sqrt{3}}{3}\right) \left(\frac{b\sqrt{6}}{3}\right) + 2 \pi \left(\frac{b\sqrt{3}}{3}\right)^2$
$S_{полн} = 2 \pi \frac{b^2\sqrt{18}}{9} + 2 \pi \frac{3b^2}{9}$
$S_{полн} = 2 \pi \frac{b^2 \cdot 3\sqrt{2}}{9} + 2 \pi \frac{b^2}{3}$
$S_{полн} = 2 \pi \frac{b^2\sqrt{2}}{3} + 2 \pi \frac{b^2}{3}$
Вынесем общий множитель $\frac{2 \pi b^2}{3}$:
$S_{полн} = \frac{2 \pi b^2}{3} (\sqrt{2} + 1)$.

Ответ:
Площадь полной поверхности цилиндра равна $\frac{2 \pi b^2}{3} (\sqrt{2} + 1)$.

уровень С

324. Периметр осевого сечения цилиндра равен $P$. Найдите высоту и радиус основания этого цилиндра, если площадь его боковой поверхности наибольшая.

Дано:

Периметр осевого сечения цилиндра: $P$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ - наибольшая.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как $P$ является символьным параметром, обозначающим длину).

Найти:

Высоту цилиндра $h$ и радиус основания $r$.

Решение:

Пусть $r$ - радиус основания цилиндра, а $h$ - его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$ (высота цилиндра).

Периметр осевого сечения $P$ задается формулой:

$P = 2(2r + h)$

$P = 4r + 2h$

Выразим высоту $h$ через $P$ и $r$ из этого уравнения:

$2h = P - 4r$

$h = \frac{P - 4r}{2}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi rh$

Подставим выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок}(r) = 2\pi r \left(\frac{P - 4r}{2}\right)$

$S_{бок}(r) = \pi r (P - 4r)$

$S_{бок}(r) = \pi P r - 4\pi r^2$

Данная функция $S_{бок}(r)$ является квадратичной функцией относительно $r$, которая представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $r^2$ равен $-4\pi$, что является отрицательным числом). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $ax^2 + bx + c$ по оси $x$ (в нашем случае $r$) находится по формуле $r_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем уравнении $S_{бок}(r) = -4\pi r^2 + \pi P r$, коэффициенты равны $a = -4\pi$ и $b = \pi P$.

Найдем значение $r$, при котором $S_{бок}$ достигает максимума:

$r_{max} = -\frac{\pi P}{2(-4\pi)}$

$r_{max} = -\frac{\pi P}{-8\pi}$

$r_{max} = \frac{P}{8}$

Теперь подставим найденное значение $r_{max}$ в выражение для $h$:

$h = \frac{P - 4r_{max}}{2}$

$h = \frac{P - 4\left(\frac{P}{8}\right)}{2}$

$h = \frac{P - \frac{P}{2}}{2}$

$h = \frac{\frac{P}{2}}{2}$

$h = \frac{P}{4}$

Таким образом, для того чтобы площадь боковой поверхности цилиндра была наибольшей при заданном периметре осевого сечения, высота цилиндра должна быть в два раза больше его радиуса основания.

Ответ:

Высота цилиндра: $h = \frac{P}{4}$

Радиус основания: $r = \frac{P}{8}$

325. Дан цилиндр, диаметр основания которого равен $d$. Сечением боковой поверхности этого цилиндра является эллипс, плоскость которого наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью.

Дано:

Диаметр основания цилиндра: $d$

Угол наклона секущей плоскости к плоскости основания: $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины представлены в символьном виде или в градусах, что не требует дополнительного перевода в систему СИ.

Найти:

Площадь сечения цилиндра этой плоскостью ($S_{ell}$)

Решение:

При пересечении цилиндра плоскостью, не параллельной его оси и не перпендикулярной ей, в общем случае образуется эллипс. Проекция этого эллиптического сечения на плоскость основания цилиндра является кругом (основанием цилиндра).

Площадь проекции фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры и углом между их плоскостями формулой: $S_{proj} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S_{proj}$ — площадь проекции, $S$ — площадь исходной фигуры, $\alpha$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В данном случае, $S$ — это площадь эллиптического сечения ($S_{ell}$), а $S_{proj}$ — это площадь основания цилиндра ($S_{base}$). Угол $\alpha = 30^\circ$.

Диаметр основания цилиндра равен $d$.

Радиус основания цилиндра $r = \frac{d}{2}$.

Площадь основания цилиндра (круга) равна: $S_{base} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Теперь выразим площадь эллиптического сечения $S_{ell}$ из формулы проекции: $S_{ell} = \frac{S_{base}}{\cos(\alpha)}$

Подставим значения $S_{base}$ и $\alpha$: $S_{ell} = \frac{\frac{\pi d^2}{4}}{\cos(30^\circ)}$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда: $S_{ell} = \frac{\frac{\pi d^2}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi d^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi d^2}{2\sqrt{3}}$

Для удаления иррациональности из знаменателя, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $S_{ell} = \frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{6}$

326. Цилиндр и правильный октаэдр EABCDF расположены так, что вершины E и F октаэдра являются центрами оснований цилиндра, а вершины A, B, C, D принадлежат цилиндрической поверхности (рисунок 121). Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ребро октаэдра равно $a$.

Рисунок 121

Дано:

Ребро правильного октаэдра: $a$

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$)

Решение:

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра нам необходимо определить его радиус основания ($R$) и высоту ($H$). Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2\pi R^2 + 2\pi RH$.

1. Определим радиус основания цилиндра ($R$).

Вершины $A, B, C, D$ правильного октаэдра образуют квадрат, который вписан в основание цилиндра. Диагональ этого квадрата является диаметром основания цилиндра. Длина стороны квадрата $ABCD$ равна ребру октаэдра, то есть $a$ (поскольку все ребра правильного октаэдра равны).

Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле: $d = a\sqrt{2}$.

Следовательно, диаметр основания цилиндра равен $a\sqrt{2}$.

Радиус основания цилиндра ($R$) равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Определим высоту цилиндра ($H$).

Вершины $E$ и $F$ октаэдра являются центрами оснований цилиндра. Высота цилиндра $H$ равна расстоянию между вершинами $E$ и $F$.

В правильном октаэдре вершины $E$ и $F$ являются противоположными. Расстояние между ними равно главной диагонали октаэдра. Это расстояние можно найти, рассмотрев пирамиду $E-ABCD$, где $E$ - вершина, а $ABCD$ - квадратное основание. Центр этого квадрата $O$ находится на середине отрезка $EF$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $EOA$, где $E$ - вершина октаэдра, $O$ - центр квадрата $ABCD$, $A$ - вершина квадрата. Гипотенуза $EA$ является ребром октаэдра, поэтому $EA = a$. Катет $OA$ равен половине диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = a\sqrt{2}$, поэтому $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику $EOA$:

$EO^2 = EA^2 - OA^2$

$EO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$EO^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4}$

$EO^2 = a^2 - \frac{a^2}{2}$

$EO^2 = \frac{a^2}{2}$

$EO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Высота цилиндра $H$ равна удвоенному расстоянию $EO$, так как $E$ и $F$ симметричны относительно плоскости квадрата $ABCD$:

$H = EF = 2 \cdot EO = 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$.

3. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$).

Используем формулу $S_{цил} = 2\pi R^2 + 2\pi RH$ и подставим найденные значения $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $H = a\sqrt{2}$:

$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)(a\sqrt{2})$

$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{2a^2}{4}\right) + 2\pi \left(\frac{2a^2}{2}\right)$

$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{a^2}{2}\right) + 2\pi (a^2)$

$S_{цил} = \pi a^2 + 2\pi a^2$

$S_{цил} = 3\pi a^2$

Ответ: $3\pi a^2$