Номер 325, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

325. Дан цилиндр, диаметр основания которого равен $d$. Сечением боковой поверхности этого цилиндра является эллипс, плоскость которого наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью.

Дано:

Диаметр основания цилиндра: $d$

Угол наклона секущей плоскости к плоскости основания: $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины представлены в символьном виде или в градусах, что не требует дополнительного перевода в систему СИ.

Найти:

Площадь сечения цилиндра этой плоскостью ($S_{ell}$)

Решение:

При пересечении цилиндра плоскостью, не параллельной его оси и не перпендикулярной ей, в общем случае образуется эллипс. Проекция этого эллиптического сечения на плоскость основания цилиндра является кругом (основанием цилиндра).

Площадь проекции фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры и углом между их плоскостями формулой: $S_{proj} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S_{proj}$ — площадь проекции, $S$ — площадь исходной фигуры, $\alpha$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В данном случае, $S$ — это площадь эллиптического сечения ($S_{ell}$), а $S_{proj}$ — это площадь основания цилиндра ($S_{base}$). Угол $\alpha = 30^\circ$.

Диаметр основания цилиндра равен $d$.

Радиус основания цилиндра $r = \frac{d}{2}$.

Площадь основания цилиндра (круга) равна: $S_{base} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Теперь выразим площадь эллиптического сечения $S_{ell}$ из формулы проекции: $S_{ell} = \frac{S_{base}}{\cos(\alpha)}$

Подставим значения $S_{base}$ и $\alpha$: $S_{ell} = \frac{\frac{\pi d^2}{4}}{\cos(30^\circ)}$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда: $S_{ell} = \frac{\frac{\pi d^2}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi d^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi d^2}{2\sqrt{3}}$

Для удаления иррациональности из знаменателя, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $S_{ell} = \frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\pi d^2 \sqrt{3}}{6}$