Номер 331, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

331. a) Длины двух сторон осевого сечения конуса равны 4 см и 8 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и отсекающей дугу основания в $60^\circ$.

б) Один из углов осевого сечения конуса равен $90^\circ$. Хорда основания конуса, равная $4\sqrt{3}$ см, стягивает дугу в $120^\circ$. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и данную хорду основания.

a)

Дано:

Длины двух сторон осевого сечения конуса: $L_1 = 4$ см, $L_2 = 8$ см.

Угол дуги основания, отсекаемой плоскостью: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$L_1 = 4 \cdot 10^{-2}$ м

$L_2 = 8 \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад

Найти:

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и отсекающей дугу основания в $60^\circ$, $S_{сеч}$.

Решение:

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, две равные стороны которого являются образующими конуса ($L$), а третья сторона - диаметром основания ($2R$). Таким образом, заданные длины 4 см и 8 см относятся к образующей и диаметру основания.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если образующая $L = 4$ см, а диаметр основания $2R = 8$ см, то радиус основания $R = 4$ см. В этом случае $L = R$. Высота конуса $H$ определяется по теореме Пифагора как $H = \sqrt{L^2 - R^2}$. Если $L = R$, то $H = \sqrt{R^2 - R^2} = 0$. Это означает, что конус вырождается в плоский круг, что не является объемным геометрическим телом. Этот случай не подходит.

2. Если образующая $L = 8$ см, а диаметр основания $2R = 4$ см, то радиус основания $R = 2$ см. В этом случае $L = 8$ см и $R = 2$ см. Высота конуса $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см. Этот случай соответствует обычному конусу.

Таким образом, мы имеем конус с образующей $L = 8$ см и радиусом основания $R = 2$ см.

Плоскость сечения проходит через вершину конуса (обозначим ее $S$) и отсекает дугу основания в $60^\circ$. Это означает, что хорда $AB$ в основании стягивает центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$, где $O$ - центр основания. Поскольку $OA = OB = R$ (радиусы), треугольник $AOB$ является равнобедренным. Если один из углов при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, длина хорды $AB$ равна радиусу основания: $AB = R = 2$ см.

Сечение конуса данной плоскостью представляет собой треугольник $SAB$. Этот треугольник равнобедренный, так как $SA = SB = L = 8$ см. Основание этого треугольника $AB = 2$ см.

Для нахождения площади треугольника $SAB$ нам нужна его высота, опущенная из вершины $S$ на основание $AB$. Пусть $M$ - середина хорды $AB$. Тогда $SM$ - высота. В прямоугольном треугольнике $SAM$ (где $SA$ - гипотенуза, $AM$ и $SM$ - катеты):

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора:

$SM^2 = SA^2 - AM^2$

$SM^2 = 8^2 - 1^2$

$SM^2 = 64 - 1 = 63$

$SM = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

Площадь сечения $S_{сеч}$ (треугольника $SAB$) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3\sqrt{7}$

$S_{сеч} = 3\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $3\sqrt{7}$ см$^2$.

б)

Дано:

Один из углов осевого сечения конуса: $\beta = 90^\circ$.

Длина хорды основания: $l = 4\sqrt{3}$ см.

Угол дуги, стягиваемой хордой: $\gamma = 120^\circ$.

Перевод в СИ:

$l = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$\gamma = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ рад

Найти:

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и данную хорду основания, $S_{сеч}$.

Решение:

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, где две стороны - это образующие $L$, а основание - диаметр $2R$. Углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые. Следовательно, единственный угол, который может быть равен $90^\circ$, это угол при вершине осевого сечения. В таком случае, этот треугольник является прямоугольным и равнобедренным. По теореме Пифагора для такого треугольника: $L^2 + L^2 = (2R)^2$, что дает $2L^2 = 4R^2$, или $L^2 = 2R^2$. Отсюда, образующая $L = R\sqrt{2}$. Высота конуса $H$ в этом случае равна радиусу $R$, так как $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{(R\sqrt{2})^2 - R^2} = \sqrt{2R^2 - R^2} = \sqrt{R^2} = R$.Таким образом, для данного конуса $L = R\sqrt{2}$ и $H = R$.

Далее, дана хорда основания $AB = 4\sqrt{3}$ см, которая стягивает дугу в $120^\circ$. Это означает, что центральный угол $\angle AOB = 120^\circ$, где $O$ - центр основания. Треугольник $AOB$ является равнобедренным с $OA = OB = R$. Применим теорему косинусов к треугольнику $AOB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$(4\sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(120^\circ)$

$16 \cdot 3 = 2R^2 - 2R^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$

$48 = 2R^2 + R^2$

$48 = 3R^2$

$R^2 = 16$

$R = 4$ см.

Теперь мы можем найти образующую $L$:

$L = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину $S$ и данную хорду $AB$, является треугольником $SAB$. Этот треугольник равнобедренный, так как $SA = SB = L = 4\sqrt{2}$ см, а его основание $AB = 4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения площади треугольника $SAB$ нам нужна его высота, опущенная из $S$ на $AB$. Пусть $M$ - середина хорды $AB$. Тогда $SM$ - высота. В прямоугольном треугольнике $SAM$:

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора:

$SM^2 = SA^2 - AM^2$

$SM^2 = (4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2$

$SM^2 = (16 \cdot 2) - (4 \cdot 3)$

$SM^2 = 32 - 12$

$SM^2 = 20$

$SM = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Площадь сечения $S_{сеч}$ (треугольника $SAB$) вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5}$

$S_{сеч} = 4\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{15}$ см$^2$.