Номер 336, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

336. Два конуса имеют общую вершину и общий центр оснований. Из точки окружности основания большего конуса проведены две касательные к окружности основания меньшего конуса, угол между которыми 60°.

Образующая большего конуса наклонена к основанию под углом 45°.

Найдите радиус основания меньшего конуса, если его высота равна 5 см.

Дано:

Высота меньшего конуса: $h = 5$ см

Угол между касательными к окружности основания меньшего конуса, проведенными из точки на окружности основания большего конуса: $\beta = 60^\circ$

Угол наклона образующей большего конуса к основанию: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 5$ см $= 0.05$ м

$\beta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

Радиус основания меньшего конуса: $r$

Решение:

1. Поскольку два конуса имеют общую вершину и общий центр оснований, это означает, что они соосны и их основания лежат в одной плоскости. Следовательно, их высоты одинаковы. Обозначим эту общую высоту как $H$.

По условию, высота меньшего конуса $h = 5$ см. Значит, общая высота $H = 5$ см.

2. Рассмотрим больший конус. Пусть $R$ - радиус его основания. Угол наклона образующей большего конуса к основанию равен $\alpha = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей, тангенс угла $\alpha$ равен отношению высоты к радиусу:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{H}{R} \implies H = R$

Так как $H = 5$ см, то радиус основания большего конуса $R = 5$ см.

3. Рассмотрим плоскость, в которой лежат основания конусов. В этой плоскости находятся две концентрические окружности с общим центром $O$. Радиус большей окружности равен $R$, радиус меньшей окружности равен $r$.

Из некоторой точки $P$ на окружности радиуса $R$ проведены две касательные к окружности радиуса $r$. Угол между этими касательными равен $\beta = 60^\circ$.

Пусть $A$ - точка касания одной из касательных. Тогда отрезок $OA$ является радиусом меньшей окружности, $OA = r$, и он перпендикулярен касательной $PA$ в точке $A$. Таким образом, треугольник $PAO$ является прямоугольным с прямым углом в $A$.

Отрезок $PO$ является радиусом большей окружности, $PO = R$.

Отрезок $PO$ также является биссектрисой угла между двумя касательными. Следовательно, угол $\angle APO = \frac{\beta}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $PAO$ синус угла $\angle APO$ равен отношению противолежащего катета $OA$ к гипотенузе $PO$:

$\sin(\angle APO) = \frac{OA}{PO}$

$\sin(30^\circ) = \frac{r}{R}$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{r}{R} \implies R = 2r$

4. Мы получили два выражения для радиуса $R$ большего конуса: $R = 5$ см (из пункта 2) и $R = 2r$ (из пункта 3).

Приравнивая эти выражения, находим радиус $r$ меньшего конуса:

$5 = 2r$

$r = \frac{5}{2}$

$r = 2.5$

Ответ:

Радиус основания меньшего конуса равен 2.5 см.