Страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

335. Одна из образующих конуса принадлежит плоскости, не имеющей с конусом общих внутренних точек. На каком наибольшем расстоянии от этой плоскости находятся точки конуса, если его образующая равна 2,5 дм, а радиус основания – 2 дм?

Дано:

Образующая конуса ($L$) = $2,5 \text{ дм}$

Радиус основания конуса ($R$) = $2 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:

$L = 2,5 \text{ дм} = 0,25 \text{ м}$

$R = 2 \text{ дм} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Наибольшее расстояние от этой плоскости до точек конуса ($d_{max}$)

Решение:

По условию, одна из образующих конуса принадлежит плоскости, не имеющей с конусом общих внутренних точек. Это означает, что данная плоскость является касательной к конусу вдоль этой образующей.

Наибольшее расстояние от касательной плоскости до точек конуса будет достигаться в точке, лежащей на окружности основания и диаметрально противоположной точке касания образующей с основанием.

1. Для начала найдем высоту конуса ($H$). Образующая, радиус основания и высота конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = R^2 + H^2$

Выразим высоту ($H$):

$H = \sqrt{L^2 - R^2}$

Подставим числовые значения:

$H = \sqrt{(0,25 \text{ м})^2 - (0,2 \text{ м})^2}$

$H = \sqrt{0,0625 \text{ м}^2 - 0,04 \text{ м}^2}$

$H = \sqrt{0,0225 \text{ м}^2}$

$H = 0,15 \text{ м}$

2. Наибольшее расстояние от касательной плоскости до точек конуса (в данном случае, до диаметрально противоположной точки на окружности основания) определяется по формуле:

$d_{max} = \frac{2RH}{L}$

Подставим значения $R$, $H$ и $L$:

$d_{max} = \frac{2 \cdot 0,2 \text{ м} \cdot 0,15 \text{ м}}{0,25 \text{ м}}$

$d_{max} = \frac{0,06 \text{ м}^2}{0,25 \text{ м}}$

$d_{max} = 0,24 \text{ м}$

Переведем полученное расстояние обратно в дециметры, так как исходные данные были в дециметрах:

$d_{max} = 0,24 \text{ м} = 2,4 \text{ дм}$

Ответ:

Наибольшее расстояние составляет $2,4 \text{ дм}$.

336. Два конуса имеют общую вершину и общий центр оснований. Из точки окружности основания большего конуса проведены две касательные к окружности основания меньшего конуса, угол между которыми 60°.

Образующая большего конуса наклонена к основанию под углом 45°.

Найдите радиус основания меньшего конуса, если его высота равна 5 см.

Дано:

Высота меньшего конуса: $h = 5$ см

Угол между касательными к окружности основания меньшего конуса, проведенными из точки на окружности основания большего конуса: $\beta = 60^\circ$

Угол наклона образующей большего конуса к основанию: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 5$ см $= 0.05$ м

$\beta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

Радиус основания меньшего конуса: $r$

Решение:

1. Поскольку два конуса имеют общую вершину и общий центр оснований, это означает, что они соосны и их основания лежат в одной плоскости. Следовательно, их высоты одинаковы. Обозначим эту общую высоту как $H$.

По условию, высота меньшего конуса $h = 5$ см. Значит, общая высота $H = 5$ см.

2. Рассмотрим больший конус. Пусть $R$ - радиус его основания. Угол наклона образующей большего конуса к основанию равен $\alpha = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей, тангенс угла $\alpha$ равен отношению высоты к радиусу:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{H}{R} \implies H = R$

Так как $H = 5$ см, то радиус основания большего конуса $R = 5$ см.

3. Рассмотрим плоскость, в которой лежат основания конусов. В этой плоскости находятся две концентрические окружности с общим центром $O$. Радиус большей окружности равен $R$, радиус меньшей окружности равен $r$.

Из некоторой точки $P$ на окружности радиуса $R$ проведены две касательные к окружности радиуса $r$. Угол между этими касательными равен $\beta = 60^\circ$.

Пусть $A$ - точка касания одной из касательных. Тогда отрезок $OA$ является радиусом меньшей окружности, $OA = r$, и он перпендикулярен касательной $PA$ в точке $A$. Таким образом, треугольник $PAO$ является прямоугольным с прямым углом в $A$.

Отрезок $PO$ является радиусом большей окружности, $PO = R$.

Отрезок $PO$ также является биссектрисой угла между двумя касательными. Следовательно, угол $\angle APO = \frac{\beta}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $PAO$ синус угла $\angle APO$ равен отношению противолежащего катета $OA$ к гипотенузе $PO$:

$\sin(\angle APO) = \frac{OA}{PO}$

$\sin(30^\circ) = \frac{r}{R}$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{r}{R} \implies R = 2r$

4. Мы получили два выражения для радиуса $R$ большего конуса: $R = 5$ см (из пункта 2) и $R = 2r$ (из пункта 3).

Приравнивая эти выражения, находим радиус $r$ меньшего конуса:

$5 = 2r$

$r = \frac{5}{2}$

$r = 2.5$

Ответ:

Радиус основания меньшего конуса равен 2.5 см.

337. a) Найдите ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна 1 дм и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$.

б) В конус вписан куб. Найдите косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении, если середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба.

а) Найдите ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна 1 дм и наклонена к плоскости основания под углом 45°.

Дано:

Образующая конуса $L = 1 \text{ дм}$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$L = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Ребро куба $a$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Пусть $H$ – высота конуса, $R$ – радиус его основания. Из прямого треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей, используя данные об образующей и угле ее наклона, найдем $H$ и $R$:

$H = L \sin \alpha = 1 \cdot \sin 45^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}$

$R = L \cos \alpha = 1 \cdot \cos 45^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}$

Куб вписан в конус таким образом, что его нижняя грань лежит на основании конуса, а вершины верхней грани лежат на поверхности конуса. Пусть $a$ – ребро куба.

Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем куб представляется в виде квадрата со стороной $a$. Нижняя сторона этого квадрата лежит на диаметре основания конуса. Верхние вершины квадрата лежат на образующих конуса. Высота квадрата равна $a$. Радиус окружности, на которой лежат вершины верхней грани куба, равен половине диагонали этой грани: $r_{куба} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Используя подобие треугольников (большой треугольник, образованный осевым сечением конуса, и малый треугольник, образованный вершиной конуса и верхней гранью куба), получаем соотношение:

$\frac{R}{H} = \frac{r_{куба}}{H-a}$

Подставим выражение для $r_{куба}$:

$\frac{R}{H} = \frac{a\sqrt{2}/2}{H-a}$

$R(H-a) = H \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$RH - Ra = \frac{aH\sqrt{2}}{2}$

Перенесем слагаемые, содержащие $a$, в одну сторону:

$RH = Ra + \frac{aH\sqrt{2}}{2}$

$RH = a \left( R + \frac{H\sqrt{2}}{2} \right)$

Выразим $a$:

$a = \frac{RH}{R + \frac{H\sqrt{2}}{2}} = \frac{2RH}{2R + H\sqrt{2}}$

Теперь подставим найденные значения $H = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дм и $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дм:

$a = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}}$

$a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2}-1)$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

Ответ: $\sqrt{2} - 1 \text{ дм}$

б) В конус вписан куб. Найдите косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении, если середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба.

Дано:

Конус, в который вписан куб.

Середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба.

Найти:

Косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении ($\cos \theta$)

Решение:

Пусть $H$ – высота конуса, $R$ – радиус его основания, а $a$ – ребро вписанного куба.

Условие "середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба" означает, что высота куба равна половине высоты конуса:

$a = \frac{H}{2}$

Для куба, вписанного в конус (нижняя грань на основании конуса, вершины верхней грани на поверхности конуса), существует зависимость между $a, H, R$, полученная из подобия треугольников осевого сечения (как показано в пункте а)):

$a = \frac{2RH}{2R + H\sqrt{2}}$

Подставим $a = \frac{H}{2}$ в это уравнение:

$\frac{H}{2} = \frac{2RH}{2R + H\sqrt{2}}$

Поскольку $H \neq 0$, можем разделить обе части уравнения на $H$:

$\frac{1}{2} = \frac{2R}{2R + H\sqrt{2}}$

Перемножим крест-накрест:

$1 \cdot (2R + H\sqrt{2}) = 2 \cdot 2R$

$2R + H\sqrt{2} = 4R$

Вычтем $2R$ из обеих частей:

$H\sqrt{2} = 2R$

Выразим $H$ через $R$:

$H = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$

Теперь найдем косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении. Пусть этот угол равен $\theta$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$ (половина осевого сечения), половина угла при вершине равна $\frac{\theta}{2}$.

Тангенс половины угла равен отношению противолежащего катета ($R$) к прилежащему катету ($H$):

$\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{R}{H}$

Подставим $H = R\sqrt{2}$:

$\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\frac{\theta}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\theta}{2})}$

Подставим значение $\tan \left( \frac{\theta}{2} \right)$:

$\cos \theta = \frac{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}{1 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$

$\cos \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

338. Найдите площадь основания конуса высотой $h$, в котором имеются три взаимно перпендикулярные образующие.

Дано:

Конус с высотой $h$.

В конусе имеются три взаимно перпендикулярные образующие.

Найти:

Площадь основания конуса ($S_{осн}$).

Решение:

Представим вершину конуса $S$ в начале координат $(0,0,0)$. Пусть $L$ – длина образующей конуса. Так как в конусе имеются три взаимно перпендикулярные образующие, мы можем расположить их вдоль координатных осей. Пусть эти образующие соединяют вершину $S$ с точками $A, B, C$ на окружности основания конуса.

Тогда координаты этих точек будут: $A(L,0,0)$, $B(0,L,0)$, $C(0,0,L)$.

Основание конуса является кругом, проходящим через точки $A, B, C$. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, можно записать как:$\frac{x}{L} + \frac{y}{L} + \frac{z}{L} = 1$Или, умножив на $L$:$x + y + z - L = 0$

Высота конуса $h$ – это перпендикулярное расстояние от вершины $S(0,0,0)$ до плоскости основания ($x+y+z-L=0$). Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ равна $\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.В нашем случае $S(0,0,0)$, а для плоскости $x+y+z-L=0$ имеем $A=1, B=1, C=1, D=-L$.Следовательно, высота $h$ равна:$h = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - L|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-L|}{\sqrt{3}} = \frac{L}{\sqrt{3}}$

Из этого соотношения выразим длину образующей $L$:$L = h\sqrt{3}$

Центр основания конуса $O'$ является проекцией вершины $S(0,0,0)$ на плоскость $x+y+z-L=0$. Линия, проходящая через $S$ и перпендикулярная плоскости, имеет параметрическое уравнение $x=t, y=t, z=t$. Подставим эти выражения в уравнение плоскости, чтобы найти параметр $t$ для точки $O'$:$t+t+t-L=0 \implies 3t=L \implies t=\frac{L}{3}$Таким образом, координаты центра основания $O'$: $(\frac{L}{3}, \frac{L}{3}, \frac{L}{3})$.

Радиус основания $r$ – это расстояние от центра основания $O'$ до любой точки на окружности основания, например, до точки $A(L,0,0)$.Квадрат радиуса $r^2$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:$r^2 = (L - \frac{L}{3})^2 + (0 - \frac{L}{3})^2 + (0 - \frac{L}{3})^2$$r^2 = (\frac{2L}{3})^2 + (-\frac{L}{3})^2 + (-\frac{L}{3})^2$$r^2 = \frac{4L^2}{9} + \frac{L^2}{9} + \frac{L^2}{9} = \frac{6L^2}{9} = \frac{2L^2}{3}$

Теперь подставим найденное ранее значение $L = h\sqrt{3}$ в выражение для $r^2$:$r^2 = \frac{2(h\sqrt{3})^2}{3} = \frac{2(h^2 \cdot 3)}{3} = 2h^2$

Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади круга: $S_{осн} = \pi r^2$.Подставим значение $r^2$:$S_{осн} = \pi (2h^2) = 2\pi h^2$

Ответ: $2\pi h^2$

339. a) Радиус основания конуса равен 12 см, а его высота равна 8 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса, содержащее его вершину?

б) Площадь наибольшего сечения конуса, содержащего его вершину, вдвое больше площади его осевого сечения. Найдите угол наклона образующей конуса к основанию.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 12 \text{ см}$.

Высота конуса $H = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$R = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

а) Наибольшую площадь сечения конуса, содержащего его вершину.

б) Угол наклона образующей конуса к основанию, если $S_{max} = 2 S_{осевое}$.

Решение:

а) Радиус основания конуса равен 12 см, а его высота равна 8 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса, содержащее его вершину?

Сечение конуса, содержащее его вершину, является равнобедренным треугольником. Пусть $V$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $R$ — радиус основания, $H$ — высота конуса. Сечение — это треугольник $VAB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM \perp AB$. Высота треугольника $VAB$ (от вершины $V$ к основанию $AB$) — это отрезок $VM$. В прямоугольном треугольнике $VOM$ (где $VO = H$, $OM = x$), $VM = \sqrt{VO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + x^2}$. Длина хорды $AB = 2 \cdot AM$. В прямоугольном треугольнике $AMO$ (где $OA = R$), $AM = \sqrt{R^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Площадь сечения $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{R^2 - x^2}) \cdot \sqrt{H^2 + x^2} = \sqrt{(R^2 - x^2)(H^2 + x^2)}$, где $x = OM$ и $0 \le x \le R$.

Чтобы найти максимальную площадь, найдем максимум квадрата площади $S^2 = (R^2 - x^2)(H^2 + x^2) = R^2H^2 + R^2x^2 - H^2x^2 - x^4 = R^2H^2 + (R^2 - H^2)x^2 - x^4$.

Возьмем производную по $x$ и приравняем к нулю:$\frac{d(S^2)}{dx} = 2(R^2 - H^2)x - 4x^3 = 2x(R^2 - H^2 - 2x^2)$.Приравнивая производную к нулю, получаем:$2x(R^2 - H^2 - 2x^2) = 0$.

Возможны два случая:

1. $x = 0$. Это соответствует осевому сечению конуса (хорда $AB$ является диаметром).В этом случае площадь $S_{осевое} = \sqrt{(R^2 - 0^2)(H^2 + 0^2)} = \sqrt{R^2H^2} = RH$.Подставим данные значения: $S_{осевое} = 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

2. $R^2 - H^2 - 2x^2 = 0$. Это возможно, если $R^2 - H^2 > 0$, то есть $R > H$.$2x^2 = R^2 - H^2 \implies x^2 = \frac{R^2 - H^2}{2}$.Для данных значений $R = 12 \text{ см}$ и $H = 8 \text{ см}$, $R > H$, поэтому этот случай актуален.$x^2 = \frac{12^2 - 8^2}{2} = \frac{144 - 64}{2} = \frac{80}{2} = 40$.$x = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$. Так как $2\sqrt{10} \approx 6.32 < 12$, это допустимое значение для $x$.

Подставим $x^2 = \frac{R^2 - H^2}{2}$ в формулу для $S^2$:$S_{max}^2 = \left(R^2 - \frac{R^2 - H^2}{2}\right)\left(H^2 + \frac{R^2 - H^2}{2}\right) = \left(\frac{2R^2 - R^2 + H^2}{2}\right)\left(\frac{2H^2 + R^2 - H^2}{2}\right) = \left(\frac{R^2 + H^2}{2}\right)\left(\frac{R^2 + H^2}{2}\right) = \frac{(R^2 + H^2)^2}{4}$.Следовательно, $S_{max} = \sqrt{\frac{(R^2 + H^2)^2}{4}} = \frac{R^2 + H^2}{2}$.

Сравним $S_{max}$ и $S_{осевое}$:Мы знаем, что $(R - H)^2 \ge 0 \implies R^2 - 2RH + H^2 \ge 0 \implies R^2 + H^2 \ge 2RH$.Отсюда $\frac{R^2 + H^2}{2} \ge RH$. Равенство достигается только при $R=H$.Поскольку в нашей задаче $R=12$ см и $H=8$ см, $R \ne H$, то $\frac{R^2 + H^2}{2} > RH$.Значит, наибольшая площадь будет равна $\frac{R^2 + H^2}{2}$.

Вычислим наибольшую площадь:$S_{max} = \frac{12^2 + 8^2}{2} = \frac{144 + 64}{2} = \frac{208}{2} = 104 \text{ см}^2$.

Ответ: 104 см$^2$

б) Площадь наибольшего сечения конуса, содержащего его вершину, вдвое больше площади его осевого сечения. Найдите угол наклона образующей конуса к основанию.

Обозначим радиус основания конуса за $R$, а его высоту за $H$. Угол наклона образующей конуса к основанию обозначим $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания и образующей, $\tan \alpha = \frac{H}{R}$.

Площадь осевого сечения конуса $S_{осевое} = RH$.

Из решения пункта а) мы знаем, что наибольшая площадь сечения, содержащего вершину конуса, $S_{max}$, определяется следующим образом:

• Если $R > H$, то $S_{max} = \frac{R^2 + H^2}{2}$.
• Если $R \le H$, то $S_{max} = RH$.

По условию задачи, $S_{max} = 2 S_{осевое}$.

Предположим, что $R \le H$. Тогда $S_{max} = RH$.Подставим это в условие: $RH = 2RH$. Это уравнение приводит к $1 = 2$, что невозможно.Следовательно, предположение $R \le H$ неверно, и должен выполняться случай $R > H$.

Значит, $S_{max} = \frac{R^2 + H^2}{2}$.Подставим это в условие $S_{max} = 2 S_{осевое}$:$\frac{R^2 + H^2}{2} = 2RH$.Умножим обе части на 2:$R^2 + H^2 = 4RH$.

Разделим все члены уравнения на $R^2$ (поскольку $R \ne 0$):$\frac{R^2}{R^2} + \frac{H^2}{R^2} = 4\frac{RH}{R^2}$.$1 + \left(\frac{H}{R}\right)^2 = 4\left(\frac{H}{R}\right)$.

Пусть $k = \frac{H}{R}$. Тогда уравнение принимает вид:$1 + k^2 = 4k$.$k^2 - 4k + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $k$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:$k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Мы получили два возможных значения для $k = \frac{H}{R}$:

1. $k_1 = 2 + \sqrt{3}$.В этом случае $\frac{H}{R} = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732$. Это означает, что $H > R$. Однако, мы уже установили, что должно быть $R > H$ для того, чтобы использовалась формула $S_{max} = \frac{R^2 + H^2}{2}$. Следовательно, это решение не подходит.

2. $k_2 = 2 - \sqrt{3}$.В этом случае $\frac{H}{R} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$. Это означает, что $H < R$, что соответствует условию $R > H$. Следовательно, это решение является верным.

Итак, $\tan \alpha = \frac{H}{R} = 2 - \sqrt{3}$.Известно, что $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Таким образом, угол наклона образующей конуса к основанию $\alpha = 15^\circ$.

Ответ: 15°

340.
а) Образующая конуса равна 1 м и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите высоту равностороннего цилиндра, вписанного в конус.

б) Можно ли в равносторонний конус, образующая которого равна 1 м, вписать равносторонний цилиндр? Если можно, то найдите радиус основания такого цилиндра.

a)

Дано:

Образующая конуса $L = 1$ м

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Цилиндр равносторонний, то есть его высота $h_ц$ равна диаметру основания $2R_ц$, то есть $h_ц = 2R_ц$.

Вписанный цилиндр.

Перевод в СИ: Все данные уже в СИ.

Найти:

Высота равностороннего цилиндра $h_ц$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного цилиндра. Это будет равнобедренный треугольник, в который вписан прямоугольник. Высота конуса $H_к$ и радиус основания конуса $R_к$ могут быть выражены через образующую $L$ и угол $\alpha$:

$R_к = L \cos(\alpha)$

$H_к = L \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$R_к = 1 \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м

$H_к = 1 \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м

Пусть $R_ц$ - радиус основания цилиндра, $h_ц$ - его высота. Поскольку цилиндр равносторонний, то $h_ц = 2R_ц$.

Из подобия треугольников (большой треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей, и маленький треугольник над цилиндром, образованный частью высоты конуса, радиусом верхней грани цилиндра и частью образующей) следует соотношение:

$\frac{R_ц}{H_к - h_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

Подставим $R_ц = \frac{h_ц}{2}$ в уравнение:

$\frac{h_ц/2}{H_к - h_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

$h_ц H_к = 2R_к (H_к - h_ц)$

$h_ц H_к = 2R_к H_к - 2R_к h_ц$

$h_ц H_к + 2R_к h_ц = 2R_к H_к$

$h_ц (H_к + 2R_к) = 2R_к H_к$

$h_ц = \frac{2R_к H_к}{H_к + 2R_к}$

Теперь подставим значения $R_к = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $H_к = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$h_ц = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$h_ц = \frac{2 \cdot \frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2}}$

$h_ц = \frac{1}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$

$h_ц = \frac{2}{3\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h_ц = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ м

б)

Дано:

Конус равносторонний, то есть его образующая равна диаметру основания $L_к = 2R_к$.

Образующая конуса $L_к = 1$ м.

Цилиндр равносторонний, то есть его высота $h_ц$ равна диаметру основания $2R_ц$, то есть $h_ц = 2R_ц$.

Вписанный цилиндр.

Перевод в СИ: Все данные уже в СИ.

Найти:

Можно ли вписать равносторонний цилиндр? Если да, то найти радиус основания такого цилиндра $R_ц$.

Решение:

Сначала определим размеры равностороннего конуса:

Радиус основания конуса $R_к = \frac{L_к}{2} = \frac{1}{2}$ м.

Высота конуса $H_к = \sqrt{L_к^2 - R_к^2}$ (по теореме Пифагора).

$H_к = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ м.

Пусть $R_ц$ - радиус основания вписанного равностороннего цилиндра, тогда его высота $h_ц = 2R_ц$.

Используем то же соотношение подобия треугольников из части а):

$\frac{R_ц}{H_к - h_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

Подставим $h_ц = 2R_ц$:

$\frac{R_ц}{H_к - 2R_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

$R_ц H_к = R_к (H_к - 2R_ц)$

$R_ц H_к = R_к H_к - 2R_к R_ц$

$R_ц H_к + 2R_к R_ц = R_к H_к$

$R_ц (H_к + 2R_к) = R_к H_к$

$R_ц = \frac{R_к H_к}{H_к + 2R_к}$

Теперь подставим значения $R_к = \frac{1}{2}$ и $H_к = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$R_ц = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}}$

$R_ц = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}$

$R_ц = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3} + 2}{2}}$

$R_ц = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} + 2}$

$R_ц = \frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3} + 2)}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} - 2)$:

$R_ц = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)}{2(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)}$

$R_ц = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{2(3 - 4)}$

$R_ц = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{2(-1)}$

$R_ц = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ м

Теперь проверим, возможно ли вписать такой цилиндр. Это возможно, если его высота $h_ц$ меньше высоты конуса $H_к$.

$h_ц = 2R_ц = 2 \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{2} = 2\sqrt{3} - 3$ м.

Сравним $h_ц$ и $H_к$:

$2\sqrt{3} - 3$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Преобразуем неравенство $2\sqrt{3} - 3 < \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} < 3$

$\frac{4\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} < 3$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} < 3$

$3\sqrt{3} < 6$

$\sqrt{3} < 2$

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, а $2$, то $\sqrt{3} < 2$ является истинным утверждением. Следовательно, $h_ц < H_к$, и такой цилиндр можно вписать в конус.

Ответ: Да, можно вписать равносторонний цилиндр. Радиус его основания равен $\frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ м.

341. В конус вписана прямая треугольная призма с равными ребрами. Радиус основания конуса равен $R$, а угол наклона образующей к плоскости основания равен $60^\circ$. Найдите длину ребра призмы.

Дано

• В конус вписана прямая треугольная призма с равными ребрами.
• Радиус основания конуса: $R_к = R$.
• Угол наклона образующей к плоскости основания: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в символическом виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Длина ребра призмы ($x$).

Решение

1. Найдем высоту конуса ($H_к$).

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высота конуса ($H_к$), радиус основания ($R_к$) и образующая ($L$) образуют прямоугольный треугольник. Угол между образующей и плоскостью основания равен $60^\circ$.

Из определения тангенса: $tg(\alpha) = \frac{H_к}{R_к}$.

Подставим известные значения: $H_к = R \cdot tg(60^\circ)$.

$tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Следовательно, высота конуса $H_к = R\sqrt{3}$.

2. Определим характеристики призмы.

По условию, призма является прямой треугольной призмой с равными ребрами. Это означает, что ее основание представляет собой равносторонний треугольник, и длина стороны этого основания равна высоте призмы. Пусть длина ребра призмы равна $x$. Тогда сторона основания призмы равна $x$, и высота призмы ($h_п$) также равна $x$. То есть, $h_п = x$.

3. Рассмотрим вписанную призму.

Когда прямая призма вписана в конус, это означает, что ее нижнее основание вписано в основание конуса, а вершины верхнего основания лежат на боковой поверхности конуса.

3.1. Анализ нижнего основания призмы.

Нижнее основание призмы — это равносторонний треугольник со стороной $x$. Он вписан в окружность основания конуса радиусом $R$. Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $x$ выражается формулой $r_{оп} = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Поскольку нижнее основание призмы вписано в основание конуса, радиус описанной окружности треугольника совпадает с радиусом основания конуса:

$R = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Из этого уравнения выразим $x$: $x = R\sqrt{3}$.

4. Проверка условия для верхнего основания призмы.

Мы установили, что длина ребра призмы $x = R\sqrt{3}$. Следовательно, высота призмы $h_п = x = R\sqrt{3}$.

Ранее мы нашли высоту конуса: $H_к = R\sqrt{3}$.

Таким образом, высота призмы $h_п$ равна высоте конуса $H_к$. Это означает, что верхнее основание призмы находится в той же плоскости, что и вершина конуса. Однако, сечением конуса на высоте его вершины является точка (вершина конуса). Треугольное основание призмы не может быть точкой (если $R \ne 0$).

Эта ситуация указывает на то, что при строгом соблюдении всех условий задача ведет к вырожденному случаю (т.е. призма не может существовать в невырожденном виде при данных параметрах). Однако, в математических задачах, когда спрашивается "найдите длину", обычно подразумевается, что существует уникальное, невырожденное решение. В таких случаях часто считается, что условия "вписана" и "с равными ребрами" должны быть выполнены в максимально возможной степени, а противоречие, возникающее с верхним основанием, является следствием заданных числовых значений.

Наиболее прямолинейным ответом, который следует из условий о нижнем основании и равенстве ребер, является $x = R\sqrt{3}$.

Ответ: $x = R\sqrt{3}$