Страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ.

1. Что принимается за площадь полной поверхности конуса?

2. По каким формулам можно найти площади боковой и полной поверхностей конуса?

3. Что является разверткой боковой поверхности конуса?

1. Что принимается за площадь полной поверхности конуса?

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей его боковой поверхности и его основания. Поверхность конуса состоит из двух частей: основания, которое представляет собой круг, и боковой (криволинейной) поверхности, которая соединяет вершину конуса с окружностью основания. Таким образом, чтобы найти полную площадь поверхности, необходимо сложить площадь круга в основании и площадь боковой поверхности.
Ответ: Сумма площади боковой поверхности и площади основания конуса.

2. По каким формулам можно найти площади боковой и полной поверхностей конуса?

Для нахождения площадей поверхностей конуса используются следующие обозначения: $r$ — радиус основания конуса, $l$ — длина его образующей.
Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле произведения числа $\pi$, радиуса основания и образующей:
$S_{бок} = \pi r l$
Площадь основания конуса ($S_{осн}$), которое является кругом, вычисляется по стандартной формуле площади круга:
$S_{осн} = \pi r^2$
Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$
Если известны радиус $r$ и высота конуса $h$, то образующую $l$ можно найти по теореме Пифагора: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
Ответ: Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l$. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = \pi r (l + r)$.

3. Что является разверткой боковой поверхности конуса?

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Параметры этого сектора напрямую связаны с параметрами конуса:
1. Радиус этого кругового сектора равен длине образующей конуса ($l$).
2. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса ($C = 2\pi r$).
Площадь этого сектора и есть площадь боковой поверхности конуса.
Ответ: Круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса.

342. a) Может ли площадь боковой поверхности конуса быть равной площади его основания?

б) Радиусы оснований и высоты цилиндра и конуса равны. Могут ли быть равными площади их боковых поверхностей?

а)

Дано
Конус с радиусом основания $r$ и образующей $l$.

Найти
Может ли $S_{бок} = S_{осн}$?

Решение
Площадь основания конуса определяется формулой $S_{осн} = \pi r^2$. Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — длина образующей конуса. Предположим, что площади равны: $S_{бок} = S_{осн}$. Тогда $\pi r l = \pi r^2$. Разделим обе части на $\pi r$ (поскольку радиус конуса $r$ не может быть равен нулю для существования конуса): $l = r$. Образующая $l$, радиус основания $r$ и высота конуса $h$ связаны соотношением Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$. Подставим $l = r$ в это уравнение: $r^2 = r^2 + h^2$. Отсюда следует: $h^2 = 0$, то есть $h = 0$. Если высота конуса равна нулю, то конус вырождается в плоский круг (основание), и у него нет боковой поверхности в обычном смысле. Следовательно, для полноценного конуса, у которого $h > 0$, условие $l = r$ невыполнимо.

Ответ: Нет.

б)

Дано
Цилиндр с радиусом основания $r_ц$ и высотой $h_ц$. Конус с радиусом основания $r_к$ и высотой $h_к$. По условию: $r_ц = r_к = r$ и $h_ц = h_к = h$.

Найти
Могут ли $S_{бок_ц} = S_{бок_к}$?

Решение
Площадь боковой поверхности цилиндра определяется формулой $S_{бок_ц} = 2 \pi r h$. Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой $S_{бок_к} = \pi r l_к$, где $l_к$ — длина образующей конуса. Для конуса образующая $l_к$, радиус основания $r$ и высота $h$ связаны соотношением Пифагора: $l_к = \sqrt{r^2 + h^2}$. Подставим это в формулу для площади боковой поверхности конуса: $S_{бок_к} = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Предположим, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны: $S_{бок_ц} = S_{бок_к}$. Тогда $2 \pi r h = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Разделим обе части на $\pi r$ (поскольку $r \neq 0$): $2h = \sqrt{r^2 + h^2}$. Возведем обе части в квадрат: $(2h)^2 = (\sqrt{r^2 + h^2})^2$. $4h^2 = r^2 + h^2$. Вычтем $h^2$ из обеих частей: $3h^2 = r^2$. Извлечем квадратный корень: $r = \sqrt{3h^2}$, что дает $r = h\sqrt{3}$. Таким образом, площади боковых поверхностей цилиндра и конуса могут быть равными, если радиус их оснований равен высоте, умноженной на $\sqrt{3}$. Например, если $h = 1$ м, то $r = \sqrt{3}$ м.

Ответ: Да, могут, если радиус основания $r$ связан с высотой $h$ соотношением $r = h\sqrt{3}$.

343. Как относятся площади основания, боковой поверхности и полной поверхности равностороннего конуса?

Дано

Равносторонний конус.

Для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания $2R$, где $R$ — радиус основания. Следовательно, $l = 2R$.

Найти:

Отношение площадей основания, боковой поверхности и полной поверхности ($S_{осн} : S_{бок} : S_{полн}$)

Решение

Определим формулы для каждой из требуемых площадей, используя свойство равностороннего конуса, согласно которому образующая $l$ равна диаметру основания $2R$.

Площади основания

Площадь основания конуса, которое является кругом радиуса $R$, вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$

Ответ: $S_{осн} = \pi R^2$

боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R l$ Для равностороннего конуса образующая $l = 2R$. Подставим это значение в формулу для боковой поверхности: $S_{бок} = \pi R (2R) = 2\pi R^2$

Ответ: $S_{бок} = 2\pi R^2$

полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$ Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $S_{бок}$: $S_{полн} = \pi R^2 + 2\pi R^2 = 3\pi R^2$

Ответ: $S_{полн} = 3\pi R^2$

Теперь найдем отношение площадей основания, боковой поверхности и полной поверхности: $S_{осн} : S_{бок} : S_{полн} = \pi R^2 : 2\pi R^2 : 3\pi R^2$ Разделим все части отношения на $\pi R^2$ (поскольку $R$ — радиус, $R \neq 0$, и $\pi \neq 0$, следовательно $\pi R^2 \neq 0$): $S_{осн} : S_{бок} : S_{полн} = 1 : 2 : 3$

Ответ:

Отношение площадей основания, боковой поверхности и полной поверхности равно $1 : 2 : 3$.

344. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если:

а) его высота равна 8 дм, а радиус основания – 6 дм;

б) образующая конуса наклонена к основанию под углом $45^\circ$, а его высота равна 4 дм.

а) его высота равна 8 дм, а радиус основания – 6 дм

Дано:

$h = 8 \text{ дм}$

$r = 6 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:

$h = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$r = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, $l$ – образующая конуса.

Высота ($h$), радиус основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. Для нахождения образующей $l$ используем теорему Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Подставляем известные значения:

$l^2 = (6 \text{ дм})^2 + (8 \text{ дм})^2$

$l^2 = 36 \text{ дм}^2 + 64 \text{ дм}^2$

$l^2 = 100 \text{ дм}^2$

$l = \sqrt{100 \text{ дм}^2} = 10 \text{ дм}$

Теперь подставим значения $r$ и $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 6 \text{ дм} \cdot 10 \text{ дм}$

$S_{бок} = 60\pi \text{ дм}^2$

Ответ: $60\pi \text{ дм}^2$

б) образующая конуса наклонена к основанию под углом 45°, а его высота равна 4 дм

Дано:

$\alpha = 45^\circ$ (угол наклона образующей к основанию)

$h = 4 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:

$h = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

$S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, $l$ – образующая конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ($h$), радиусом основания ($r$) и образующей ($l$). Угол между образующей и радиусом основания равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету (радиусу $r$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$

Поскольку $\alpha = 45^\circ$, то $\tan(45^\circ) = 1$.

$1 = \frac{4 \text{ дм}}{r}$

Следовательно, $r = 4 \text{ дм}$.

Так как это прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, он является равнобедренным, и $r=h$.

Теперь найдем образующую $l$ с помощью теоремы Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

$l^2 = (4 \text{ дм})^2 + (4 \text{ дм})^2$

$l^2 = 16 \text{ дм}^2 + 16 \text{ дм}^2$

$l^2 = 32 \text{ дм}^2$

$l = \sqrt{32} \text{ дм} = \sqrt{16 \cdot 2} \text{ дм} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$

Теперь подставим значения $r$ и $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 4 \text{ дм} \cdot 4\sqrt{2} \text{ дм}$

$S_{бок} = 16\pi\sqrt{2} \text{ дм}^2$

Ответ: $16\pi\sqrt{2} \text{ дм}^2$

345. Крыша башни имеет форму конуса. Высота крыши 1,5 м, а диаметр основания башни равен 4 м. Найдите с точностью до $0,1 \text{ м}^2$ площадь поверхности крыши.

Дано:

Высота конуса $h = 1.5$ м

Диаметр основания $D = 4$ м

Найти:

Площадь поверхности крыши $S$

Решение:

Крыша имеет форму конуса. Площадь поверхности крыши — это площадь боковой поверхности конуса, так как основание не является частью крыши, требующей покрытия. Формула для площади боковой поверхности конуса: $S = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса.

Сначала найдем радиус основания, используя данный диаметр:

$r = \frac{D}{2}$

$r = \frac{4 \text{ м}}{2} = 2 \text{ м}$

Далее найдем образующую $l$. Высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Используем теорему Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

$l = \sqrt{h^2 + r^2}$

Подставим известные значения:

$l = \sqrt{(1.5 \text{ м})^2 + (2 \text{ м})^2}$

$l = \sqrt{2.25 \text{ м}^2 + 4 \text{ м}^2}$

$l = \sqrt{6.25 \text{ м}^2}$

$l = 2.5 \text{ м}$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности крыши:

$S = \pi r l$

$S = \pi \times 2 \text{ м} \times 2.5 \text{ м}$

$S = 5\pi \text{ м}^2$

Для числового значения используем $\pi \approx 3.14159$:

$S \approx 5 \times 3.14159 \text{ м}^2$

$S \approx 15.70795 \text{ м}^2$

Округлим результат до $0.1 \text{ м}^2$:

$S \approx 15.7 \text{ м}^2$

Ответ:

$15.7 \text{ м}^2$

346. a) Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг.

б) Площадь боковой поверхности конуса втрое больше площади его основания. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания конуса.

а)

Дано:

Развертка боковой поверхности конуса - полукруг.

Найти:

Угол при вершине осевого сечения конуса ($ \alpha $).

Решение:

Пусть $ r $ - радиус основания конуса, а $ l $ - длина образующей конуса.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с радиусом, равным образующей конуса $ l $. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $ 2 \pi r $.

По условию, развертка является полукругом. Это означает, что радиус этого полукруга равен $ l $, а длина его дуги равна половине длины окружности радиуса $ l $, то есть $ \pi l $.

При сворачивании полукруга в конус, длина дуги полукруга становится длиной окружности основания конуса:

$ 2 \pi r = \pi l $

Разделим обе части уравнения на $ \pi $:

$ 2 r = l $

Или $ r = \frac{l}{2} $.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, стороны которого равны $ l $, $ l $ и $ 2r $ (диаметр основания). Угол при вершине этого треугольника - это искомый угол $ \alpha $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $ l $, радиусом основания $ r $ и высотой конуса $ h $. В этом треугольнике синус половины угла $ \alpha $ равен отношению противолежащего катета (радиуса $ r $) к гипотенузе (образующей $ l $):

$ \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{r}{l} $

Подставим найденное соотношение $ r = \frac{l}{2} $ в это уравнение:

$ \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{\frac{l}{2}}{l} = \frac{1}{2} $

Известно, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Следовательно, $ \frac{\alpha}{2} = 30^\circ $.

Тогда $ \alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $.

Ответ: $ 60^\circ $

б)

Дано:

Площадь боковой поверхности конуса $ S_{бок} $ втрое больше площади его основания $ S_{осн} $.

$ S_{бок} = 3 S_{осн} $

Найти:

Угол наклона образующей к плоскости основания конуса ($ \beta $).

Решение:

Пусть $ r $ - радиус основания конуса, а $ l $ - длина образующей конуса.

Формула площади боковой поверхности конуса: $ S_{бок} = \pi r l $.

Формула площади основания конуса: $ S_{осн} = \pi r^2 $.

Согласно условию, $ S_{бок} = 3 S_{осн} $.

Подставим формулы площадей:

$ \pi r l = 3 \pi r^2 $

Разделим обе части уравнения на $ \pi r $ (поскольку $ r \ne 0 $):

$ l = 3 r $

Угол наклона образующей к плоскости основания конуса - это угол $ \beta $ между образующей $ l $ и радиусом $ r $ в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания, высотой конуса и образующей.

В этом прямоугольном треугольнике косинус угла $ \beta $ равен отношению прилежащего катета (радиуса $ r $) к гипотенузе (образующей $ l $):

$ \cos \beta = \frac{r}{l} $

Подставим найденное соотношение $ l = 3r $ в это уравнение:

$ \cos \beta = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3} $

Для нахождения угла $ \beta $ используем арккосинус:

$ \beta = \arccos \left( \frac{1}{3} \right) $

Ответ: $ \arccos \left( \frac{1}{3} \right) $

347. Радиус сектора равен 6 дм, а его угол $120^\circ$. Сектор свернут в коническую воронку. Найдите радиус основания конуса.

Дано

Радиус сектора $R = 6 \text{ дм}$

Угол сектора $\alpha = 120^\circ$

Перевод в систему СИ:
Радиус сектора $R = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания конуса $r$

Решение

Когда сектор свертывают в коническую воронку, радиус сектора $R$ становится образующей конуса $L$, а длина дуги сектора $l$ становится длиной окружности основания конуса $C$.

1. Вычислим длину дуги сектора по формуле:
$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$

Подставим известные значения:
$l = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 6 \text{ дм}$
$l = \frac{1}{3} \cdot 12\pi \text{ дм}$
$l = 4\pi \text{ дм}$

2. Длина окружности основания конуса $C$ связана с его радиусом $r$ формулой:
$C = 2\pi r$

Поскольку длина дуги сектора становится длиной окружности основания конуса, мы можем приравнять $l$ и $C$:
$2\pi r = l$
$2\pi r = 4\pi \text{ дм}$

3. Найдем радиус основания конуса $r$:
$r = \frac{4\pi}{2\pi} \text{ дм}$
$r = 2 \text{ дм}$

Ответ: 2 дм

348. Найдите центральный угол развертки боковой поверхности конуса, если:

а) площадь полной поверхности конуса $27\pi$, а площадь его боковой поверхности $18\pi$;

б) его образующая $5\text{ см}$, а площадь полной поверхности $24\pi \text{ см}^2$.

Дано

а) Площадь полной поверхности конуса: $S_{полн, а} = 27\pi$ условных единиц.

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок, а} = 18\pi$ условных единиц.

б) Образующая конуса: $L_б = 5$ см.

Площадь полной поверхности конуса: $S_{полн, б} = 24\pi$ см$^2$.

Перевод в СИ:

В данной задаче величины заданы в единицах, удобных для вычислений (условные единицы, см, см$^2$), и не требуют дополнительного перевода в систему СИ для получения конечного результата. Центральный угол развертки является безразмерной величиной (в радианах) или измеряется в градусах.

Найти:

а) Центральный угол развертки боковой поверхности конуса ($\alpha_а$).

б) Центральный угол развертки боковой поверхности конуса ($\alpha_б$).

Решение

Центральный угол развертки боковой поверхности конуса (который представляет собой сектор круга) можно найти по формуле $\alpha = \frac{2\pi r}{L}$, где $r$ - радиус основания конуса, а $L$ - его образующая. Угол $\alpha$ при этом будет выражен в радианах. Для перевода в градусы используется соотношение $1 \text{ рад} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

а)

Дано: $S_{полн, а} = 27\pi$, $S_{бок, а} = 18\pi$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ состоит из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Отсюда найдем площадь основания: $S_{осн, а} = S_{полн, а} - S_{бок, а} = 27\pi - 18\pi = 9\pi$ условных единиц.

Площадь основания конуса выражается формулой $S_{осн} = \pi r^2$.

Приравниваем: $9\pi = \pi r_а^2$.

Сокращаем $\pi$: $r_а^2 = 9$.

Находим радиус основания: $r_а = \sqrt{9} = 3$ (радиус должен быть положительным).

Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой $S_{бок} = \pi r L$.

Подставляем известные значения: $18\pi = \pi \cdot 3 \cdot L_а$.

$18\pi = 3\pi L_а$.

Находим образующую: $L_а = \frac{18\pi}{3\pi} = 6$ условных единиц.

Теперь найдем центральный угол $\alpha_а$ развертки боковой поверхности по формуле $\alpha_а = \frac{2\pi r_а}{L_а}$.

$\alpha_а = \frac{2\pi \cdot 3}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$ радиан.

Переведем угол в градусы: $\alpha_а = \pi \text{ рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi \text{ рад}} = 180^\circ$.

Ответ: $\alpha_а = 180^\circ$ или $\pi$ радиан.

б)

Дано: $L_б = 5$ см, $S_{полн, б} = 24\pi$ см$^2$.

Формула полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r L$.

Подставляем известные значения: $24\pi = \pi r_б^2 + \pi r_б \cdot 5$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$: $24 = r_б^2 + 5r_б$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $r_б^2 + 5r_б - 24 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $r_б$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулы корней $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

В нашем случае $a=1, b=5, c=-24$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Находим корни:

$r_{б,1} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ см.

$r_{б,2} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$ см (не подходит, так как радиус не может быть отрицательным).

Итак, радиус основания $r_б = 3$ см.

Теперь найдем центральный угол $\alpha_б$ развертки боковой поверхности по формуле $\alpha_б = \frac{2\pi r_б}{L_б}$.

$\alpha_б = \frac{2\pi \cdot 3}{5} = \frac{6\pi}{5}$ радиан.

Переведем угол в градусы: $\alpha_б = \frac{6\pi}{5} \text{ рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi \text{ рад}} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{5} = 6 \cdot 36^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $\alpha_б = 216^\circ$ или $\frac{6\pi}{5}$ радиан.