Страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

367. Образующая усеченного конуса равна $l$ и наклонена к плоскости его нижнего основания под углом $\varphi$. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если отношение площадей его оснований равно $\frac{1}{9}$.

Дано:

Образующая усеченного конуса: $l$

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания: $\phi$

Отношение площадей оснований: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{9}$

Найти:

Радиусы оснований $R_1$ и $R_2$.

Решение:

Пусть $R_1$ — радиус меньшего основания, а $R_2$ — радиус большего основания. Площади оснований $S_1$ и $S_2$ соответственно равны $S_1 = \pi R_1^2$ и $S_2 = \pi R_2^2$.

Из условия дано отношение площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{9}$

Подставим формулы площадей:

$\frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = \frac{1}{9}$

Сократим $\pi$:

$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{1}{9}$

Возьмем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиусы являются положительными величинами:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{3}$

Отсюда выразим $R_2$ через $R_1$:

$R_2 = 3R_1$

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Если опустить перпендикуляр из вершины меньшего основания на плоскость большего основания, то образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является образующая $l$, а катетом, прилежащим к углу $\phi$, является разность радиусов $R_2 - R_1$.

Из определения косинуса в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos \phi = \frac{R_2 - R_1}{l}$

Выразим разность радиусов:

$R_2 - R_1 = l \cos \phi$

Теперь подставим ранее найденное соотношение $R_2 = 3R_1$ в это уравнение:

$3R_1 - R_1 = l \cos \phi$

$2R_1 = l \cos \phi$

Найдем $R_1$:

$R_1 = \frac{l \cos \phi}{2}$

Теперь найдем $R_2$, используя соотношение $R_2 = 3R_1$:

$R_2 = 3 \cdot \frac{l \cos \phi}{2}$

$R_2 = \frac{3l \cos \phi}{2}$

Ответ:

Радиус меньшего основания $R_1 = \frac{l \cos \phi}{2}$, радиус большего основания $R_2 = \frac{3l \cos \phi}{2}$.

368. Найдите отношение площади сечения, перпендикулярного высоте усеченного конуса и проходящего через ее середину, к площади его осевого сечения, диагонали которого перпендикулярны.

Дано:

Усеченный конус с радиусами оснований $R_1$ (верхнее) и $R_2$ (нижнее), причем $R_1 < R_2$. Высота усеченного конуса $H$.

Сечение, перпендикулярное высоте и проходящее через ее середину (среднее сечение).

Осевое сечение, диагонали которого перпендикулярны.

Найти:

Отношение площади среднего сечения $S_m$ к площади осевого сечения $S_a$, то есть $\frac{S_m}{S_a}$.

Решение

Для начала определим площадь среднего сечения $S_m$. Поскольку это сечение перпендикулярно высоте и проходит через ее середину, оно является кругом, радиус $R_m$ которого равен среднему арифметическому радиусов оснований усеченного конуса:

$R_m = \frac{R_1 + R_2}{2}$

Площадь среднего сечения вычисляется по формуле площади круга:

$S_m = \pi R_m^2 = \pi \left(\frac{R_1 + R_2}{2}\right)^2 = \pi \frac{(R_1 + R_2)^2}{4}$

Далее, рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, параллельные стороны которой равны диаметрам оснований конуса ($2R_1$ и $2R_2$), а высота равна высоте конуса $H$. Площадь трапеции $S_a$ находится по формуле:

$S_a = \frac{\text{сумма оснований}}{2} \cdot \text{высота} = \frac{2R_1 + 2R_2}{2} H = (R_1 + R_2)H$

По условию задачи, диагонали осевого сечения перпендикулярны. Важное свойство равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями заключается в том, что ее высота равна полусумме длин параллельных сторон. В нашем случае, это означает:

$H = \frac{2R_1 + 2R_2}{2} = R_1 + R_2$

Теперь подставим это выражение для $H$ в формулу площади осевого сечения:

$S_a = (R_1 + R_2)(R_1 + R_2) = (R_1 + R_2)^2$

Наконец, найдем искомое отношение площади среднего сечения к площади осевого сечения:

$\frac{S_m}{S_a} = \frac{\pi \frac{(R_1 + R_2)^2}{4}}{(R_1 + R_2)^2}$

Сокращая общий множитель $(R_1 + R_2)^2$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_m}{S_a} = \frac{\pi}{4}$

Ответ:

Ответ:

$\frac{\pi}{4}$

369. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна $S$. Найдите площадь сечения конуса, которое содержит хорды его оснований, стягивающие дуги, равные $2\alpha$, если известно, что угол между плоскостями сечения и основания равен $\varphi$.

Дано:

Площадь осевого сечения усеченного конуса: $S$

Угол, стягиваемый хордами оснований: $2\alpha$

Угол между плоскостями сечения и основания: $\varphi$

Найти:

Площадь сечения конуса: $S_{сеч}$

Решение

Обозначим радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса как $R$ и $r$ соответственно, а его высоту как $H$.

Площадь осевого сечения усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией с основаниями $2R$ и $2r$ и высотой $H$, выражается формулой:

$S = \frac{1}{2}(2R + 2r)H = (R+r)H$

Искомое сечение также является равнобедренной трапецией. Ее параллельные стороны — это хорды, стягивающие дуги $2\alpha$ в основаниях.

Длина хорды, стягивающей дугу $2\alpha$ в окружности радиуса $R$, равна $c_R = 2R \sin\alpha$.

Длина хорды, стягивающей дугу $2\alpha$ в окружности радиуса $r$, равна $c_r = 2r \sin\alpha$.

Высота этой трапеции ($h_{сеч}$) — это расстояние между серединами этих хорд. Чтобы найти $h_{сеч}$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ и горизонтальным расстоянием между проекциями середин хорд на одно основание.

Расстояние от центра основания радиуса $R$ до его хорды равно $d_R = R \cos\alpha$.

Расстояние от центра основания радиуса $r$ до его хорды равно $d_r = r \cos\alpha$.

Горизонтальное расстояние между серединами хорд в плоскости, перпендикулярной хордам и проходящей через ось конуса, составляет $(R-r)\cos\alpha$.

Тогда, по теореме Пифагора, высота сечения $h_{сеч}$ равна:

$h_{сеч} = \sqrt{H^2 + ((R-r)\cos\alpha)^2}$

Угол $\varphi$ между плоскостью сечения и плоскостью основания определяется как угол между высотой сечения $h_{сеч}$ и ее проекцией на горизонтальную плоскость. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике этот угол лежит напротив катета $H$. Следовательно:

$\sin\varphi = \frac{H}{h_{сеч}}$

Отсюда выразим $h_{сеч}$:

$h_{сеч} = \frac{H}{\sin\varphi}$

Теперь вычислим площадь сечения $S_{сеч}$ как площадь трапеции:

$S_{сеч} = \frac{1}{2}(c_R + c_r)h_{сеч}$

Подставим выражения для $c_R$, $c_r$ и $h_{сеч}$:

$S_{сеч} = \frac{1}{2}(2R \sin\alpha + 2r \sin\alpha) \frac{H}{\sin\varphi}$

$S_{сеч} = (R \sin\alpha + r \sin\alpha) \frac{H}{\sin\varphi}$

$S_{сеч} = (R+r)\sin\alpha \frac{H}{\sin\varphi}$

Мы знаем, что $S = (R+r)H$. Подставим $S$ в выражение для $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = S \frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}$

Ответ: $S \frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}$