Номер 368, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

368. Найдите отношение площади сечения, перпендикулярного высоте усеченного конуса и проходящего через ее середину, к площади его осевого сечения, диагонали которого перпендикулярны.

Дано:

Усеченный конус с радиусами оснований $R_1$ (верхнее) и $R_2$ (нижнее), причем $R_1 < R_2$. Высота усеченного конуса $H$.

Сечение, перпендикулярное высоте и проходящее через ее середину (среднее сечение).

Осевое сечение, диагонали которого перпендикулярны.

Найти:

Отношение площади среднего сечения $S_m$ к площади осевого сечения $S_a$, то есть $\frac{S_m}{S_a}$.

Решение

Для начала определим площадь среднего сечения $S_m$. Поскольку это сечение перпендикулярно высоте и проходит через ее середину, оно является кругом, радиус $R_m$ которого равен среднему арифметическому радиусов оснований усеченного конуса:

$R_m = \frac{R_1 + R_2}{2}$

Площадь среднего сечения вычисляется по формуле площади круга:

$S_m = \pi R_m^2 = \pi \left(\frac{R_1 + R_2}{2}\right)^2 = \pi \frac{(R_1 + R_2)^2}{4}$

Далее, рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, параллельные стороны которой равны диаметрам оснований конуса ($2R_1$ и $2R_2$), а высота равна высоте конуса $H$. Площадь трапеции $S_a$ находится по формуле:

$S_a = \frac{\text{сумма оснований}}{2} \cdot \text{высота} = \frac{2R_1 + 2R_2}{2} H = (R_1 + R_2)H$

По условию задачи, диагонали осевого сечения перпендикулярны. Важное свойство равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями заключается в том, что ее высота равна полусумме длин параллельных сторон. В нашем случае, это означает:

$H = \frac{2R_1 + 2R_2}{2} = R_1 + R_2$

Теперь подставим это выражение для $H$ в формулу площади осевого сечения:

$S_a = (R_1 + R_2)(R_1 + R_2) = (R_1 + R_2)^2$

Наконец, найдем искомое отношение площади среднего сечения к площади осевого сечения:

$\frac{S_m}{S_a} = \frac{\pi \frac{(R_1 + R_2)^2}{4}}{(R_1 + R_2)^2}$

Сокращая общий множитель $(R_1 + R_2)^2$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_m}{S_a} = \frac{\pi}{4}$

Ответ:

Ответ:

$\frac{\pi}{4}$