Номер 371, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

371. Образующая усеченного конуса равна 6 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности этого усеченного конуса, если диаметр его верхнего основания равен 10 см.

Дано:

Образующая усеченного конуса $L = 6 \text{ см}$

Угол образующей с плоскостью нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Диаметр верхнего основания $D_1 = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$L = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$D_1 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$, где $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности, $S_{осн1}$ - площадь верхнего основания, $S_{осн2}$ - площадь нижнего основания.

1. Вычислим радиус верхнего основания $R_1$:

$R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

2. Вычислим радиус нижнего основания $R_2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $L$, высотой усеченного конуса $h$ и отрезком $(R_2 - R_1)$ на нижнем основании. Угол между образующей и нижним основанием равен $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{R_2 - R_1}{L}$

Отсюда выразим $R_2 - R_1 = L \cos \alpha$

Следовательно, $R_2 = R_1 + L \cos \alpha$

Подставим известные значения: $R_2 = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = 0.5$, то

$R_2 = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} \cdot 0.5 = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см}$

3. Вычислим площади оснований:

Площадь верхнего основания: $S_{осн1} = \pi R_1^2 = \pi (5 \text{ см})^2 = 25\pi \text{ см}^2$

Площадь нижнего основания: $S_{осн2} = \pi R_2^2 = \pi (8 \text{ см})^2 = 64\pi \text{ см}^2$

4. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) L = \pi (5 \text{ см} + 8 \text{ см}) \cdot 6 \text{ см} = \pi (13 \text{ см}) \cdot 6 \text{ см} = 78\pi \text{ см}^2$

5. Вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

$S_{полн} = 78\pi \text{ см}^2 + 25\pi \text{ см}^2 + 64\pi \text{ см}^2 = (78 + 25 + 64)\pi \text{ см}^2 = 167\pi \text{ см}^2$

Для перевода результата в систему СИ:

$S_{полн} = 167\pi \text{ см}^2 = 167\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 167\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь полной поверхности усеченного конуса составляет $167\pi \text{ см}^2$ или $167\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.