Номер 370, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

370. Равнобедренная трапеция с основаниями 4 см, 10 см и боковой стороной 5 см вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Дано:

Основания равнобедренной трапеции: $b_1 = 4 \text{ см}$, $b_2 = 10 \text{ см}$

Боковая сторона трапеции: $l = 5 \text{ см}$

Трапеция вращается вокруг своей оси симметрии.

Перевод в СИ:

$b_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$b_2 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

При вращении равнобедренной трапеции вокруг своей оси симметрии образуется усеченный конус. Ось симметрии трапеции является осью этого усеченного конуса. Радиусы оснований усеченного конуса будут равны половинам длин оснований трапеции, а боковая сторона трапеции будет являться образующей усеченного конуса.

Найдем радиусы оснований усеченного конуса:

Радиус меньшего основания: $R_1 = b_1 / 2 = 4 \text{ см} / 2 = 2 \text{ см}$.

Радиус большего основания: $R_2 = b_2 / 2 = 10 \text{ см} / 2 = 5 \text{ см}$.

Образующая усеченного конуса: $L = l = 5 \text{ см}$.

Площадь поверхности усеченного конуса (тела вращения) состоит из суммы площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Формула для полной площади поверхности усеченного конуса: $S = \pi R_1^2 + \pi R_2^2 + \pi (R_1 + R_2) L$.

Подставим найденные значения в формулу:

$S = \pi (2 \text{ см})^2 + \pi (5 \text{ см})^2 + \pi (2 \text{ см} + 5 \text{ см}) (5 \text{ см})$

$S = 4\pi \text{ см}^2 + 25\pi \text{ см}^2 + \pi (7 \text{ см}) (5 \text{ см})$

$S = 4\pi \text{ см}^2 + 25\pi \text{ см}^2 + 35\pi \text{ см}^2$

Сложим все члены с $\pi$:

$S = (4 + 25 + 35)\pi \text{ см}^2$

$S = 64\pi \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь поверхности тела вращения составляет $64\pi \text{ см}^2$.