Номер 365, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

365. Образующая усеченного конуса равна 8см и наклонена к плоскости его нижнего основания под углом $60^\circ$. Прямая, содержащая диагональ его осевого сечения, делит этот угол пополам. Найдите радиусы оснований усеченного конуса.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 8$ см

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Диагональ осевого сечения делит этот угол пополам.

Перевод в СИ:

$l = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Радиусы оснований усеченного конуса $R$ и $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AB$ - диаметр верхнего основания ($2r$), $CD$ - диаметр нижнего основания ($2R$), а $AD$ и $BC$ - образующие ($l$).

1. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к нижнему основанию $CD$. Треугольник $ADH$ является прямоугольным.

Длина образующей $AD = l = 8$ см.

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания - это угол $\angle ADH = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $ADH$ найдем высоту усеченного конуса $h$ и отрезок $DH$:

$h = AH = AD \sin(\angle ADH) = 8 \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

$DH = AD \cos(\angle ADH) = 8 \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Отрезок $DH$ равен разности радиусов оснований: $DH = R - r$.

Таким образом, получаем первое уравнение: $R - r = 4$.

2. Условие "Прямая, содержащая диагональ его осевого сечения, делит этот угол пополам" означает, что диагональ трапеции (например, $BD$) делит угол $\angle ADH = 60^\circ$ (или $\angle ADC$, так как $H$ лежит на $CD$) пополам. Следовательно, $\angle BDC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к нижнему основанию $CD$. Высота $BK = h = 4\sqrt{3}$ см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKD$. В нем угол $\angle BDK = 30^\circ$.

Отрезок $KD$ можно найти через тангенс угла:

$KD = \frac{BK}{\tan(\angle BDK)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

В равнобедренной трапеции осевого сечения $KD$ равен сумме радиусов оснований: $KD = R + r$.

Таким образом, получаем второе уравнение: $R + r = 12$.

5. Решим систему из двух уравнений:

$R - r = 4$

$R + r = 12$

Сложим оба уравнения:

$(R - r) + (R + r) = 4 + 12$

$2R = 16$

$R = \frac{16}{2} = 8$ см.

Подставим значение $R$ в первое уравнение:

$8 - r = 4$

$r = 8 - 4 = 4$ см.

Ответ:

Радиусы оснований усеченного конуса равны $R = 8$ см и $r = 4$ см.