Номер 360, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

360. a) Найдите высоту ведра, имеющего форму усеченного конуса с большим верхним основанием, если его образующая 2,5 дм, а радиусы оснований равны 1,7 дм и 1 дм.

б) Найдите длину образующей усеченного конуса, высота которого равна $\sqrt{30}$ дм, а площади оснований $6\pi$ дм2 и $24\pi$ дм2.

а) Найдите высоту ведра, имеющего форму усеченного конуса с большим верхним основанием, если его образующая 2,5 дм, а радиусы оснований равны 1,7 дм и 1 дм.

Дано

Форма: усеченный конус

Радиус большего основания ($R_1$): $1,7$ дм

Радиус меньшего основания ($R_2$): $1$ дм

Образующая ($l$): $2,5$ дм

Перевод в СИ:

$R_1 = 1,7 \text{ дм} = 0,17 \text{ м}$

$R_2 = 1 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$

$l = 2,5 \text{ дм} = 0,25 \text{ м}$

Найти:

Высота ($h$) усеченного конуса

Решение

Для усеченного конуса существует формула, связывающая высоту ($h$), образующую ($l$) и радиусы оснований ($R_1$, $R_2$):

$l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$

Из этой формулы выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - (R_1 - R_2)^2$

$h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Подставим данные значения:

$R_1 - R_2 = 1,7 \text{ дм} - 1 \text{ дм} = 0,7 \text{ дм}$

$h = \sqrt{(2,5 \text{ дм})^2 - (0,7 \text{ дм})^2}$

$h = \sqrt{6,25 \text{ дм}^2 - 0,49 \text{ дм}^2}$

$h = \sqrt{5,76 \text{ дм}^2}$

$h = 2,4 \text{ дм}$

Ответ: $2,4 \text{ дм}$

б) Найдите длину образующей усеченного конуса, высота которого равна $\sqrt{30}$ дм, а площади оснований $6\pi$ дм$^2$ и $24\pi$ дм$^2$.

Дано

Форма: усеченный конус

Высота ($h$): $\sqrt{30}$ дм

Площадь одного основания ($S_1$): $24\pi$ дм$^2$ (большее основание)

Площадь другого основания ($S_2$): $6\pi$ дм$^2$ (меньшее основание)

Перевод в СИ:

$h = \sqrt{30} \text{ дм} \approx 5,477 \text{ дм} = 0,5477 \text{ м}$

$S_1 = 24\pi \text{ дм}^2 = 0,24\pi \text{ м}^2$

$S_2 = 6\pi \text{ дм}^2 = 0,06\pi \text{ м}^2$

Найти:

Длина образующей ($l$) усеченного конуса

Решение

Сначала найдем радиусы оснований, используя формулу площади круга $S = \pi r^2$.

Для большего основания:

$S_1 = \pi R_1^2$

$24\pi = \pi R_1^2$

$R_1^2 = 24$

$R_1 = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6} \text{ дм}$

Для меньшего основания:

$S_2 = \pi R_2^2$

$6\pi = \pi R_2^2$

$R_2^2 = 6$

$R_2 = \sqrt{6} \text{ дм}$

Теперь используем формулу для образующей усеченного конуса:

$l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$

Вычислим разность радиусов:

$R_1 - R_2 = 2\sqrt{6} \text{ дм} - \sqrt{6} \text{ дм} = \sqrt{6} \text{ дм}$

Подставим значения $h$ и $(R_1 - R_2)$:

$l^2 = (\sqrt{30} \text{ дм})^2 + (\sqrt{6} \text{ дм})^2$

$l^2 = 30 \text{ дм}^2 + 6 \text{ дм}^2$

$l^2 = 36 \text{ дм}^2$

$l = \sqrt{36 \text{ дм}^2}$

$l = 6 \text{ дм}$

Ответ: $6 \text{ дм}$