Номер 362, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

362. а) Дан усеченный конус, высота которого равна 12 см, радиус нижнего основания равен 8 см, а тангенс угла между образующей и основанием равен 2,4. Найдите площадь верхнего основания этого усеченного конуса.

б) Образующая усеченного конуса, равная 16 см, наклонена к основанию под углом $60^\circ$. Найдите радиусы оснований этого усеченного конуса, если их отношение равно 3.

а)

Дано:

усеченный конус

высота $H = 12 \text{ см}$

радиус нижнего основания $R = 8 \text{ см}$

тангенс угла между образующей и основанием $\tan(\alpha) = 2.4$

Перевод в СИ:

$H = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

площадь верхнего основания $S_{верхнего}$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Если опустить высоту из вершины верхнего основания на нижнее основание, образуется прямоугольный треугольник. Гипотенуза этого треугольника – образующая конуса, один катет – высота конуса $H$, а второй катет – разность радиусов оснований $R - r$, где $r$ – радиус верхнего основания.

Угол $\alpha$ между образующей и основанием находится в этом прямоугольном треугольнике. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (разности радиусов $R-r$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R-r}$

Подставим известные значения:

$2.4 = \frac{12 \text{ см}}{8 \text{ см} - r}$

Решим уравнение относительно $r$:

$2.4 \cdot (8 - r) = 12$

$8 - r = \frac{12}{2.4}$

$8 - r = 5$

$r = 8 - 5$

$r = 3 \text{ см}$

Площадь верхнего основания усеченного конуса вычисляется по формуле площади круга:

$S_{верхнего} = \pi r^2$

Подставим найденное значение $r$:

$S_{верхнего} = \pi \cdot (3 \text{ см})^2$

$S_{верхнего} = 9\pi \text{ см}^2$

Ответ: $9\pi \text{ см}^2$

б)

Дано:

усеченный конус

образующая $L = 16 \text{ см}$

угол наклона образующей к основанию $\alpha = 60^\circ$

отношение радиусов оснований $\frac{R}{r} = 3$ (где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания)

Перевод в СИ:

$L = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

радиусы оснований $R$ и $r$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция. Если опустить перпендикуляр из вершины верхнего основания на нижнее основание, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза – образующая конуса $L$, один катет – высота конуса, а второй катет – разность радиусов оснований $R-r$.

Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 60^\circ$ находится в этом прямоугольном треугольнике. Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета (разности радиусов $R-r$) к гипотенузе (образующей $L$):

$\cos(\alpha) = \frac{R-r}{L}$

Подставим известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{R-r}{16 \text{ см}}$

Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} = \frac{R-r}{16}$

Отсюда найдем разность радиусов:

$R-r = \frac{16}{2}$

$R-r = 8 \text{ см}$

Также дано отношение радиусов: $\frac{R}{r} = 3$. Это означает, что $R = 3r$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $R - r = 8$

2) $R = 3r$

Подставим второе уравнение в первое:

$3r - r = 8$

$2r = 8$

$r = \frac{8}{2}$

$r = 4 \text{ см}$

Теперь найдем $R$:

$R = 3r = 3 \cdot 4 \text{ см}$

$R = 12 \text{ см}$

Ответ: радиусы оснований равны $4 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$.