Номер 364, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

364. Бревно высотой 5 м формы усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 0,25 м и 0,09 м, распилили на три бревна, высоты которых равны. Найдите с точностью до 0,01 м длины образующих полученных усеченных конусов.

Дано:

Высота исходного бревна (усеченного конуса): $H = 5$ м

Радиус большего основания: $R = 0.25$ м

Радиус меньшего основания: $r = 0.09$ м

Количество частей, на которые распилили бревно: $n = 3$

Требуемая точность: $0.01$ м

Перевод данных в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Длины образующих полученных усеченных конусов ($L_1, L_2, L_3$).

Решение:

Исходное бревно представляет собой усеченный конус с высотой $H = 5$ м и радиусами оснований $R = 0.25$ м и $r = 0.09$ м.

По условию, бревно распилили на три части равной высоты. Следовательно, высота каждого нового усеченного конуса будет $h = \frac{H}{n} = \frac{5}{3}$ м.

Длина образующей (наклонной высоты) усеченного конуса вычисляется по формуле: $L = \sqrt{h^2 + (R_{больший} - R_{меньший})^2}$, где $h$ — высота усеченного конуса, а $R_{больший}$ и $R_{меньший}$ — радиусы его оснований.

Поскольку исходный усеченный конус является частью полного конуса, радиус его поперечного сечения меняется линейно по высоте. Это означает, что при делении усеченного конуса на равные по высоте части, разность радиусов оснований каждой новой части также будет одинаковой.

Общая разность радиусов исходного усеченного конуса составляет $\Delta R_{общ} = R - r = 0.25 - 0.09 = 0.16$ м.

Поскольку бревно разделено на 3 части равной высоты, разность радиусов для каждой части будет: $\Delta R_{часть} = \frac{\Delta R_{общ}}{n} = \frac{0.16}{3}$ м.

Таким образом, для каждого из трех полученных усеченных конусов высота $h = \frac{5}{3}$ м и разность радиусов оснований $\Delta R = \frac{0.16}{3}$ м будут одинаковыми. Следовательно, длины образующих всех трех усеченных конусов будут равны между собой.

Рассчитаем длину образующей $L$:

$L = \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{0.16}{3}\right)^2}$

$L = \sqrt{\frac{5^2}{3^2} + \frac{0.16^2}{3^2}}$

$L = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{0.0256}{9}}$

$L = \sqrt{\frac{25 + 0.0256}{9}}$

$L = \sqrt{\frac{25.0256}{9}}$

$L = \frac{\sqrt{25.0256}}{3}$

Вычислим численное значение:

$L \approx \frac{5.00255938}{3} \approx 1.66751979$ м

Округлим результат до 0.01 м:

$L \approx 1.67$ м

Ответ: $1.67$ м