Номер 358, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

358. Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 8 см и 14 см, а образующая равна 10 см.

Дано:

$R_1 = 8 \text{ см}$

$R_2 = 14 \text{ см}$

$L = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$R_2 = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$L = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:

$S_{сеч}$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Параллельные основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса: $D_1 = 2R_1$ и $D_2 = 2R_2$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $L$. Высота трапеции равна высоте усеченного конуса $H$.

Для начала найдем высоту $H$ усеченного конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, образующей $L$ и отрезком, равным разности радиусов оснований $(R_2 - R_1)$. По теореме Пифагора:

$H^2 + (R_2 - R_1)^2 = L^2$

Подставим известные значения:

$H^2 + (14 \text{ см} - 8 \text{ см})^2 = (10 \text{ см})^2$

$H^2 + (6 \text{ см})^2 = (10 \text{ см})^2$

$H^2 + 36 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2$

$H^2 = 100 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2$

$H^2 = 64 \text{ см}^2$

$H = \sqrt{64 \text{ см}^2}$

$H = 8 \text{ см}$

Теперь найдем площадь осевого сечения $S_{сеч}$. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{трапеции} = \frac{(a + b)}{2} \cdot H$

В нашем случае, $a = 2R_1$ и $b = 2R_2$. Тогда формула для площади осевого сечения будет:

$S_{сеч} = \frac{(2R_1 + 2R_2)}{2} \cdot H$

$S_{сеч} = (R_1 + R_2) \cdot H$

Подставим значения радиусов и найденной высоты:

$S_{сеч} = (8 \text{ см} + 14 \text{ см}) \cdot 8 \text{ см}$

$S_{сеч} = (22 \text{ см}) \cdot 8 \text{ см}$

$S_{сеч} = 176 \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь осевого сечения усеченного конуса равна $176 \text{ см}^2$.