Номер 355, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

355. Найдите наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в конус с высотой 12 дм и радиусом основания 5 дм.

Дано:

Высота конуса $H = 12 \text{ дм}$

Радиус основания конуса $R = 5 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:
$H = 12 \text{ дм} = 1.2 \text{ м}$
$R = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок, max}$

Решение:

Пусть $r$ - радиус основания вписанного цилиндра, а $h$ - его высота.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него цилиндра. Это будет равнобедренный треугольник, в который вписан прямоугольник.
Из подобия треугольников (большого треугольника, образованного высотой конуса, радиусом основания и образующей, и малого треугольника, образованного вершиной конуса, радиусом верхней грани цилиндра и образующей) следует соотношение:
$\frac{H}{R} = \frac{H - h}{r}$
Подставим известные значения $H = 12 \text{ дм}$ и $R = 5 \text{ дм}$:
$\frac{12}{5} = \frac{12 - h}{r}$
Выразим $h$ через $r$:
$12r = 5(12 - h)$
$12r = 60 - 5h$
$5h = 60 - 12r$
$h = \frac{60 - 12r}{5} = 12 - \frac{12}{5}r$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок}(r) = 2 \pi r \left(12 - \frac{12}{5}r\right)$
$S_{бок}(r) = 24 \pi r - \frac{24 \pi}{5}r^2$

Мы получили квадратичную функцию площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}(r)$ относительно его радиуса $r$. Эта функция является параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $r^2$ отрицательный). Максимальное значение функции достигается в вершине параболы. Координата вершины по оси $r$ находится по формуле $r = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -\frac{24 \pi}{5}$ и $b = 24 \pi$.
$r_{max} = -\frac{24 \pi}{2 \left(-\frac{24 \pi}{5}\right)} = -\frac{24 \pi}{-\frac{48 \pi}{5}} = \frac{24 \pi \cdot 5}{48 \pi} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ дм}$

Теперь найдем соответствующую высоту цилиндра при этом радиусе:
$h = 12 - \frac{12}{5}r_{max} = 12 - \frac{12}{5}(2.5) = 12 - \frac{12}{5}\left(\frac{5}{2}\right) = 12 - 6 = 6 \text{ дм}$

Наконец, вычислим наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок, max} = 2 \pi r_{max} h = 2 \pi (2.5 \text{ дм}) (6 \text{ дм}) = 2 \pi (15) \text{ дм}^2 = 30 \pi \text{ дм}^2$

Ответ: $30 \pi \text{ дм}^2$