Номер 348, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

348. Найдите центральный угол развертки боковой поверхности конуса, если:

а) площадь полной поверхности конуса $27\pi$, а площадь его боковой поверхности $18\pi$;

б) его образующая $5\text{ см}$, а площадь полной поверхности $24\pi \text{ см}^2$.

Дано

а) Площадь полной поверхности конуса: $S_{полн, а} = 27\pi$ условных единиц.

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок, а} = 18\pi$ условных единиц.

б) Образующая конуса: $L_б = 5$ см.

Площадь полной поверхности конуса: $S_{полн, б} = 24\pi$ см$^2$.

Перевод в СИ:

В данной задаче величины заданы в единицах, удобных для вычислений (условные единицы, см, см$^2$), и не требуют дополнительного перевода в систему СИ для получения конечного результата. Центральный угол развертки является безразмерной величиной (в радианах) или измеряется в градусах.

Найти:

а) Центральный угол развертки боковой поверхности конуса ($\alpha_а$).

б) Центральный угол развертки боковой поверхности конуса ($\alpha_б$).

Решение

Центральный угол развертки боковой поверхности конуса (который представляет собой сектор круга) можно найти по формуле $\alpha = \frac{2\pi r}{L}$, где $r$ - радиус основания конуса, а $L$ - его образующая. Угол $\alpha$ при этом будет выражен в радианах. Для перевода в градусы используется соотношение $1 \text{ рад} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

а)

Дано: $S_{полн, а} = 27\pi$, $S_{бок, а} = 18\pi$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ состоит из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Отсюда найдем площадь основания: $S_{осн, а} = S_{полн, а} - S_{бок, а} = 27\pi - 18\pi = 9\pi$ условных единиц.

Площадь основания конуса выражается формулой $S_{осн} = \pi r^2$.

Приравниваем: $9\pi = \pi r_а^2$.

Сокращаем $\pi$: $r_а^2 = 9$.

Находим радиус основания: $r_а = \sqrt{9} = 3$ (радиус должен быть положительным).

Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой $S_{бок} = \pi r L$.

Подставляем известные значения: $18\pi = \pi \cdot 3 \cdot L_а$.

$18\pi = 3\pi L_а$.

Находим образующую: $L_а = \frac{18\pi}{3\pi} = 6$ условных единиц.

Теперь найдем центральный угол $\alpha_а$ развертки боковой поверхности по формуле $\alpha_а = \frac{2\pi r_а}{L_а}$.

$\alpha_а = \frac{2\pi \cdot 3}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$ радиан.

Переведем угол в градусы: $\alpha_а = \pi \text{ рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi \text{ рад}} = 180^\circ$.

Ответ: $\alpha_а = 180^\circ$ или $\pi$ радиан.

б)

Дано: $L_б = 5$ см, $S_{полн, б} = 24\pi$ см$^2$.

Формула полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r L$.

Подставляем известные значения: $24\pi = \pi r_б^2 + \pi r_б \cdot 5$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$: $24 = r_б^2 + 5r_б$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $r_б^2 + 5r_б - 24 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $r_б$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулы корней $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

В нашем случае $a=1, b=5, c=-24$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Находим корни:

$r_{б,1} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ см.

$r_{б,2} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$ см (не подходит, так как радиус не может быть отрицательным).

Итак, радиус основания $r_б = 3$ см.

Теперь найдем центральный угол $\alpha_б$ развертки боковой поверхности по формуле $\alpha_б = \frac{2\pi r_б}{L_б}$.

$\alpha_б = \frac{2\pi \cdot 3}{5} = \frac{6\pi}{5}$ радиан.

Переведем угол в градусы: $\alpha_б = \frac{6\pi}{5} \text{ рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi \text{ рад}} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{5} = 6 \cdot 36^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $\alpha_б = 216^\circ$ или $\frac{6\pi}{5}$ радиан.