Номер 346, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

346. a) Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг.

б) Площадь боковой поверхности конуса втрое больше площади его основания. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания конуса.

а)

Дано:

Развертка боковой поверхности конуса - полукруг.

Найти:

Угол при вершине осевого сечения конуса ($ \alpha $).

Решение:

Пусть $ r $ - радиус основания конуса, а $ l $ - длина образующей конуса.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с радиусом, равным образующей конуса $ l $. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $ 2 \pi r $.

По условию, развертка является полукругом. Это означает, что радиус этого полукруга равен $ l $, а длина его дуги равна половине длины окружности радиуса $ l $, то есть $ \pi l $.

При сворачивании полукруга в конус, длина дуги полукруга становится длиной окружности основания конуса:

$ 2 \pi r = \pi l $

Разделим обе части уравнения на $ \pi $:

$ 2 r = l $

Или $ r = \frac{l}{2} $.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, стороны которого равны $ l $, $ l $ и $ 2r $ (диаметр основания). Угол при вершине этого треугольника - это искомый угол $ \alpha $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $ l $, радиусом основания $ r $ и высотой конуса $ h $. В этом треугольнике синус половины угла $ \alpha $ равен отношению противолежащего катета (радиуса $ r $) к гипотенузе (образующей $ l $):

$ \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{r}{l} $

Подставим найденное соотношение $ r = \frac{l}{2} $ в это уравнение:

$ \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{\frac{l}{2}}{l} = \frac{1}{2} $

Известно, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Следовательно, $ \frac{\alpha}{2} = 30^\circ $.

Тогда $ \alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $.

Ответ: $ 60^\circ $

б)

Дано:

Площадь боковой поверхности конуса $ S_{бок} $ втрое больше площади его основания $ S_{осн} $.

$ S_{бок} = 3 S_{осн} $

Найти:

Угол наклона образующей к плоскости основания конуса ($ \beta $).

Решение:

Пусть $ r $ - радиус основания конуса, а $ l $ - длина образующей конуса.

Формула площади боковой поверхности конуса: $ S_{бок} = \pi r l $.

Формула площади основания конуса: $ S_{осн} = \pi r^2 $.

Согласно условию, $ S_{бок} = 3 S_{осн} $.

Подставим формулы площадей:

$ \pi r l = 3 \pi r^2 $

Разделим обе части уравнения на $ \pi r $ (поскольку $ r \ne 0 $):

$ l = 3 r $

Угол наклона образующей к плоскости основания конуса - это угол $ \beta $ между образующей $ l $ и радиусом $ r $ в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания, высотой конуса и образующей.

В этом прямоугольном треугольнике косинус угла $ \beta $ равен отношению прилежащего катета (радиуса $ r $) к гипотенузе (образующей $ l $):

$ \cos \beta = \frac{r}{l} $

Подставим найденное соотношение $ l = 3r $ в это уравнение:

$ \cos \beta = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3} $

Для нахождения угла $ \beta $ используем арккосинус:

$ \beta = \arccos \left( \frac{1}{3} \right) $

Ответ: $ \arccos \left( \frac{1}{3} \right) $