Номер 343, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

343. Как относятся площади основания, боковой поверхности и полной поверхности равностороннего конуса?

Дано

Равносторонний конус.

Для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания $2R$, где $R$ — радиус основания. Следовательно, $l = 2R$.

Найти:

Отношение площадей основания, боковой поверхности и полной поверхности ($S_{осн} : S_{бок} : S_{полн}$)

Решение

Определим формулы для каждой из требуемых площадей, используя свойство равностороннего конуса, согласно которому образующая $l$ равна диаметру основания $2R$.

Площади основания

Площадь основания конуса, которое является кругом радиуса $R$, вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$

Ответ: $S_{осн} = \pi R^2$

боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R l$ Для равностороннего конуса образующая $l = 2R$. Подставим это значение в формулу для боковой поверхности: $S_{бок} = \pi R (2R) = 2\pi R^2$

Ответ: $S_{бок} = 2\pi R^2$

полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$ Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $S_{бок}$: $S_{полн} = \pi R^2 + 2\pi R^2 = 3\pi R^2$

Ответ: $S_{полн} = 3\pi R^2$

Теперь найдем отношение площадей основания, боковой поверхности и полной поверхности: $S_{осн} : S_{бок} : S_{полн} = \pi R^2 : 2\pi R^2 : 3\pi R^2$ Разделим все части отношения на $\pi R^2$ (поскольку $R$ — радиус, $R \neq 0$, и $\pi \neq 0$, следовательно $\pi R^2 \neq 0$): $S_{осн} : S_{бок} : S_{полн} = 1 : 2 : 3$

Ответ:

Отношение площадей основания, боковой поверхности и полной поверхности равно $1 : 2 : 3$.