Номер 339, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

14. Конус и его элементы. Сечение конуса плоскостью. III. Тела вращения и их элементы - номер 339, страница 104.

Условие.

339. a) Радиус основания конуса равен 12 см, а его высота равна 8 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса, содержащее его вершину?

б) Площадь наибольшего сечения конуса, содержащего его вершину, вдвое больше площади его осевого сечения. Найдите угол наклона образующей конуса к основанию.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Радиус основания конуса $R = 12 \text{ см}$.

Высота конуса $H = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$R = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

а) Наибольшую площадь сечения конуса, содержащего его вершину.

б) Угол наклона образующей конуса к основанию, если $S_{max} = 2 S_{осевое}$.

Решение:

а) Радиус основания конуса равен 12 см, а его высота равна 8 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса, содержащее его вершину?

Сечение конуса, содержащее его вершину, является равнобедренным треугольником. Пусть $V$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $R$ — радиус основания, $H$ — высота конуса. Сечение — это треугольник $VAB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM \perp AB$. Высота треугольника $VAB$ (от вершины $V$ к основанию $AB$) — это отрезок $VM$. В прямоугольном треугольнике $VOM$ (где $VO = H$, $OM = x$), $VM = \sqrt{VO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + x^2}$. Длина хорды $AB = 2 \cdot AM$. В прямоугольном треугольнике $AMO$ (где $OA = R$), $AM = \sqrt{R^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Площадь сечения $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{R^2 - x^2}) \cdot \sqrt{H^2 + x^2} = \sqrt{(R^2 - x^2)(H^2 + x^2)}$, где $x = OM$ и $0 \le x \le R$.

Чтобы найти максимальную площадь, найдем максимум квадрата площади $S^2 = (R^2 - x^2)(H^2 + x^2) = R^2H^2 + R^2x^2 - H^2x^2 - x^4 = R^2H^2 + (R^2 - H^2)x^2 - x^4$.

Возьмем производную по $x$ и приравняем к нулю:$\frac{d(S^2)}{dx} = 2(R^2 - H^2)x - 4x^3 = 2x(R^2 - H^2 - 2x^2)$.Приравнивая производную к нулю, получаем:$2x(R^2 - H^2 - 2x^2) = 0$.

Возможны два случая:

1. $x = 0$. Это соответствует осевому сечению конуса (хорда $AB$ является диаметром).В этом случае площадь $S_{осевое} = \sqrt{(R^2 - 0^2)(H^2 + 0^2)} = \sqrt{R^2H^2} = RH$.Подставим данные значения: $S_{осевое} = 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

2. $R^2 - H^2 - 2x^2 = 0$. Это возможно, если $R^2 - H^2 > 0$, то есть $R > H$.$2x^2 = R^2 - H^2 \implies x^2 = \frac{R^2 - H^2}{2}$.Для данных значений $R = 12 \text{ см}$ и $H = 8 \text{ см}$, $R > H$, поэтому этот случай актуален.$x^2 = \frac{12^2 - 8^2}{2} = \frac{144 - 64}{2} = \frac{80}{2} = 40$.$x = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$. Так как $2\sqrt{10} \approx 6.32 < 12$, это допустимое значение для $x$.

Подставим $x^2 = \frac{R^2 - H^2}{2}$ в формулу для $S^2$:$S_{max}^2 = \left(R^2 - \frac{R^2 - H^2}{2}\right)\left(H^2 + \frac{R^2 - H^2}{2}\right) = \left(\frac{2R^2 - R^2 + H^2}{2}\right)\left(\frac{2H^2 + R^2 - H^2}{2}\right) = \left(\frac{R^2 + H^2}{2}\right)\left(\frac{R^2 + H^2}{2}\right) = \frac{(R^2 + H^2)^2}{4}$.Следовательно, $S_{max} = \sqrt{\frac{(R^2 + H^2)^2}{4}} = \frac{R^2 + H^2}{2}$.

Сравним $S_{max}$ и $S_{осевое}$:Мы знаем, что $(R - H)^2 \ge 0 \implies R^2 - 2RH + H^2 \ge 0 \implies R^2 + H^2 \ge 2RH$.Отсюда $\frac{R^2 + H^2}{2} \ge RH$. Равенство достигается только при $R=H$.Поскольку в нашей задаче $R=12$ см и $H=8$ см, $R \ne H$, то $\frac{R^2 + H^2}{2} > RH$.Значит, наибольшая площадь будет равна $\frac{R^2 + H^2}{2}$.

Вычислим наибольшую площадь:$S_{max} = \frac{12^2 + 8^2}{2} = \frac{144 + 64}{2} = \frac{208}{2} = 104 \text{ см}^2$.

Ответ: 104 см$^2$

б) Площадь наибольшего сечения конуса, содержащего его вершину, вдвое больше площади его осевого сечения. Найдите угол наклона образующей конуса к основанию.

Обозначим радиус основания конуса за $R$, а его высоту за $H$. Угол наклона образующей конуса к основанию обозначим $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания и образующей, $\tan \alpha = \frac{H}{R}$.

Площадь осевого сечения конуса $S_{осевое} = RH$.

Из решения пункта а) мы знаем, что наибольшая площадь сечения, содержащего вершину конуса, $S_{max}$, определяется следующим образом:

• Если $R > H$, то $S_{max} = \frac{R^2 + H^2}{2}$.
• Если $R \le H$, то $S_{max} = RH$.

По условию задачи, $S_{max} = 2 S_{осевое}$.

Предположим, что $R \le H$. Тогда $S_{max} = RH$.Подставим это в условие: $RH = 2RH$. Это уравнение приводит к $1 = 2$, что невозможно.Следовательно, предположение $R \le H$ неверно, и должен выполняться случай $R > H$.

Значит, $S_{max} = \frac{R^2 + H^2}{2}$.Подставим это в условие $S_{max} = 2 S_{осевое}$:$\frac{R^2 + H^2}{2} = 2RH$.Умножим обе части на 2:$R^2 + H^2 = 4RH$.

Разделим все члены уравнения на $R^2$ (поскольку $R \ne 0$):$\frac{R^2}{R^2} + \frac{H^2}{R^2} = 4\frac{RH}{R^2}$.$1 + \left(\frac{H}{R}\right)^2 = 4\left(\frac{H}{R}\right)$.

Пусть $k = \frac{H}{R}$. Тогда уравнение принимает вид:$1 + k^2 = 4k$.$k^2 - 4k + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $k$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:$k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Мы получили два возможных значения для $k = \frac{H}{R}$:

1. $k_1 = 2 + \sqrt{3}$.В этом случае $\frac{H}{R} = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732$. Это означает, что $H > R$. Однако, мы уже установили, что должно быть $R > H$ для того, чтобы использовалась формула $S_{max} = \frac{R^2 + H^2}{2}$. Следовательно, это решение не подходит.

2. $k_2 = 2 - \sqrt{3}$.В этом случае $\frac{H}{R} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$. Это означает, что $H < R$, что соответствует условию $R > H$. Следовательно, это решение является верным.

Итак, $\tan \alpha = \frac{H}{R} = 2 - \sqrt{3}$.Известно, что $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Таким образом, угол наклона образующей конуса к основанию $\alpha = 15^\circ$.

Ответ: 15°