Номер 334, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

334. Радиус основания конуса равен $6 \text{ см}$, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину, если высота конуса образует с этой плоскостью угол $30^\circ$.

Дано:

$R = 6 \text{ см}$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Угол, который образует высота конуса с плоскостью сечения $\beta = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Углы остаются в градусах.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$

Решение:

1. Найдем высоту конуса ($H$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания ($R$), высотой конуса ($H$) и образующей ($L$). Угол между образующей и радиусом равен $\alpha = 45^\circ$.

Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (радиусу $R$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan(\alpha)$

$H = 6 \text{ см} \cdot \tan(45^\circ)$

$H = 6 \text{ см} \cdot 1 = 6 \text{ см}$.

2. Определим расстояние от центра основания до хорды сечения ($OP$).

Сечение, проходящее через вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$, где $S$ - вершина конуса, $AB$ - хорда основания. Пусть $O$ - центр основания, $P$ - середина хорды $AB$. Тогда $OP \perp AB$. Высота конуса $SO \perp$ плоскости основания, значит, $SO \perp OP$. Треугольник $SOP$ - прямоугольный с прямым углом при $O$.

Угол между высотой конуса $SO$ и плоскостью сечения $SAB$ равен $\beta = 30^\circ$. Пусть $K$ - проекция точки $O$ на плоскость сечения $SAB$. Тогда $OK \perp SAB$, и $SK$ - проекция $SO$ на плоскость $SAB$. Угол $\angle OSK = \beta$.

В прямоугольном треугольнике $OSK$ (прямой угол при $K$):

$OK = SO \cdot \sin(\beta) = H \cdot \sin(30^\circ)$

$OK = 6 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}$.

$OK$ - это высота, проведенная из вершины $O$ к гипотенузе $SP$ в прямоугольном треугольнике $SOP$.

Площадь треугольника $SOP$ может быть выражена двумя способами:

$S_{SOP} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OP$ или $S_{SOP} = \frac{1}{2} \cdot SP \cdot OK$

Отсюда $SO \cdot OP = SP \cdot OK$.

Мы знаем $SP = \sqrt{SO^2 + OP^2} = \sqrt{H^2 + OP^2}$.

Подставим известные значения:

$H \cdot OP = \sqrt{H^2 + OP^2} \cdot OK$

$6 \cdot OP = \sqrt{6^2 + OP^2} \cdot 3$

$2 \cdot OP = \sqrt{36 + OP^2}$

Возведем обе стороны в квадрат:

$(2 \cdot OP)^2 = 36 + OP^2$

$4 \cdot OP^2 = 36 + OP^2$

$3 \cdot OP^2 = 36$

$OP^2 = 12$

$OP = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Найдем длину хорды $AB$.

В основании конуса рассмотрим окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ находится на расстоянии $OP$ от центра $O$. Треугольник $OPA$ - прямоугольный (прямой угол при $P$).

$AP^2 = OA^2 - OP^2 = R^2 - OP^2$

$AP^2 = (6)^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$

$AP = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AP = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \text{ см}$.

4. Найдем высоту сечения $SP$.

Треугольник $SOP$ - прямоугольный с прямым углом при $O$.

$SP^2 = SO^2 + OP^2 = H^2 + OP^2$

$SP^2 = (6)^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 12 = 48$

$SP = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

5. Вычислим площадь сечения $S_{сеч}$.

Площадь треугольника $SAB$ равна половине произведения его основания $AB$ на высоту $SP$.

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SP$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{6}) \cdot (4\sqrt{3})$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt{18}$

$S_{сеч} = 8 \cdot \sqrt{9 \cdot 2}$

$S_{сеч} = 8 \cdot 3\sqrt{2}$

$S_{сеч} = 24\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $24\sqrt{2} \text{ см}^2$.