Номер 329, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

329. Найдите высоту конуса и его образующую, если осевое сечение конуса:

a) прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12 см;

б) треугольник, площадь которого равна $16\sqrt{3}$ см$^2$, а один из углов равен $120^\circ$.

а) прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12 см

Дано

Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник.

Гипотенуза осевого сечения $c = 12$ см.

Перевод в СИ

$c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти

$h, l$

Решение

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса ($l$), а основание — диаметром основания конуса ($2r$).

Если осевое сечение является прямоугольным треугольником, то, поскольку оно также является равнобедренным, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Его катеты равны образующим ($l$), а гипотенуза равна диаметру основания ($2r$).

По условию, гипотенуза осевого сечения равна 12 см. Следовательно, диаметр основания конуса $2r = 12$ см, откуда радиус основания $r = \frac{12}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора для осевого сечения: $l^2 + l^2 = (2r)^2$.

$2l^2 = (12 \text{ см})^2$

$2l^2 = 144$

$l^2 = \frac{144}{2}$

$l^2 = 72$

$l = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем высоту конуса $h$. Высота конуса $h$, радиус основания $r$, и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 + h^2$

$72 = 36 + h^2$

$h^2 = 72 - 36$

$h^2 = 36$

$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: Высота конуса $h = 6$ см, образующая конуса $l = 6\sqrt{2}$ см.

б) треугольник, площадь которого равна $16\sqrt{3}$ см$^2$, а один из углов равен 120°

Дано

Площадь осевого сечения $S = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Один из углов осевого сечения равен $120^\circ$.

Перевод в СИ

$S = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \cdot (10^{-2})^2 \text{ м}^2 = 16\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти

$h, l$

Решение

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Его боковые стороны равны образующим конуса ($l$). У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Если один из углов равен $120^\circ$, то это должен быть угол при вершине (угол между образующими), так как если бы это был угол при основании, то сумма двух углов при основании уже превысила бы $180^\circ$ ($120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$), что невозможно для треугольника.

Пусть угол при вершине осевого сечения (угол между образующими) $\theta = 120^\circ$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$. В нашем случае, $a=b=l$, $C=\theta$:

$S = \frac{1}{2}l \cdot l \sin\theta$

$S = \frac{1}{2}l^2 \sin(120^\circ)$

Мы знаем, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу площади:

$16\sqrt{3} = \frac{1}{2}l^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$16\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$16 = \frac{1}{4}l^2$

$l^2 = 16 \cdot 4$

$l^2 = 64$

$l = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем высоту конуса $h$. Высота $h$ делит осевое сечение на два прямоугольных треугольника. В одном из таких треугольников гипотенузой является образующая $l$, одним катетом — радиус основания $r$, а другим катетом — высота $h$. Угол, противолежащий радиусу $r$, равен половине угла при вершине осевого сечения, т.е. $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Используем тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике:

$\cos(60^\circ) = \frac{h}{l}$

$h = l \cos(60^\circ)$

$h = 8 \cdot \frac{1}{2}$

$h = 4$ см.

Для полноты можно найти и радиус $r$:

$\sin(60^\circ) = \frac{r}{l}$

$r = l \sin(60^\circ)$

$r = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r = 4\sqrt{3}$ см.

Проверим по теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 8^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 \Rightarrow 64 = 16 \cdot 3 + 16 \Rightarrow 64 = 48 + 16 \Rightarrow 64 = 64$. Расчеты верны.

Ответ: Высота конуса $h = 4$ см, образующая конуса $l = 8$ см.