Номер 327, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

327. Через точку основания конуса и середину его высоты проведите прямую и отметьте точку пересечения этой прямой с боковой поверхностью конуса.

Дано: конус с вершиной $S$ и основанием, центром $O$, высота $SO$. Задана точка $A$ на основании конуса (для определенности, на окружности основания) и точка $M$, являющаяся серединой высоты $SO$.

Найти: Прямую, проходящую через точки $A$ и $M$, и точку пересечения этой прямой с боковой поверхностью конуса.

Решение:

Проведите прямую

Для начала представим себе конус в трехмерном пространстве. Пусть его вершина находится в точке $S$, а центр основания - в точке $O$. Высота конуса - это отрезок $SO$. На основании конуса выбрана произвольная точка $A$. Точка $M$ находится на середине высоты $SO$, то есть $SM = MO$. Проводим прямую через эти две заданные точки: $A$ и $M$. Эта прямая будет проходить из точки $A$ (на поверхности конуса, на его основании) внутрь конуса, так как точка $M$ (середина высоты) находится внутри конуса (кроме вырожденных случаев, когда $M$ лежит на образующей, что не характерно).

Ответ: Прямая $AM$ проведена через точку $A$ на основании конуса и середину его высоты $M$.

Отметьте точку пересечения этой прямой с боковой поверхностью конуса

Для того чтобы найти точку пересечения прямой $AM$ с боковой поверхностью конуса, удобно рассмотреть плоское сечение, содержащее эту прямую. Наиболее подходящим сечением будет осевое сечение конуса, проходящее через заданную точку $A$ и ось конуса $SO$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAS'$, где $S'$ - точка на окружности основания, диаметрально противоположная точке $A$ относительно центра $O$. Ось конуса $SO$ является медианой этого треугольника.

Прямая $AM$ лежит в плоскости этого осевого сечения, так как точки $A$, $M$ и $S$ (вершина конуса) компланарны (лежат в одной плоскости). В этом плоском сечении боковая поверхность конуса представлена двумя образующими (наклонными высотами) $SA$ и $SS'$.

Точка $A$ является одной из точек пересечения прямой $AM$ с поверхностью конуса (а именно, с его основанием). Поскольку прямая $AM$ проходит через внутреннюю область конуса (из $A$ в $M$), она должна выйти из конуса, пересекая его боковую поверхность в другой точке. Эта вторая точка пересечения, назовем ее $K$, будет лежать на одной из образующих в рассматриваемом осевом сечении.

Рассмотрим треугольник $SAS'$ (осевое сечение). $SO$ - высота. $M$ - середина $SO$. Точка $A$ - одна из вершин основания. Прямая $AM$ пересекает другую образующую $SS'$ в точке $K$.

Для нахождения точного положения точки $K$, мы можем использовать метод координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда вершина $S$ находится в $(0,0,H)$, где $H$ - высота конуса. Пусть точка $A$ на окружности основания находится в $(R,0,0)$, где $R$ - радиус основания. Середина высоты $M$ будет в $(0,0,H/2)$.

Уравнение прямой $AM$ в параметрической форме: $P(t) = A + t(M-A) = (R,0,0) + t(-R, 0, H/2) = (R(1-t), 0, tH/2)$.

Уравнение боковой поверхности конуса с вершиной $(0,0,H)$ и основанием в плоскости $z=0$: $x^2 + y^2 = (\frac{R}{H})^2 (H-z)^2$.

Подставим координаты прямой в уравнение конуса:
$ (R(1-t))^2 + 0^2 = (\frac{R}{H})^2 (H - \frac{tH}{2})^2 $
$ R^2(1-t)^2 = \frac{R^2}{H^2} H^2 (1 - \frac{t}{2})^2 $
$ R^2(1-t)^2 = R^2 (1 - \frac{t}{2})^2 $

Делим на $R^2$ (при $R \neq 0$):
$ (1-t)^2 = (1 - \frac{t}{2})^2 $

Это уравнение имеет два решения:
1) $1-t = 1 - \frac{t}{2} \implies -\frac{t}{2} = 0 \implies t=0$. Это соответствует точке $A(R,0,0)$, которая является исходной точкой на основании.
2) $1-t = -(1 - \frac{t}{2}) \implies 1-t = -1 + \frac{t}{2} \implies 2 = t + \frac{t}{2} \implies 2 = \frac{3t}{2} \implies t = \frac{4}{3}$.

Это второе значение параметра $t$ соответствует искомой точке $K$. Подставим $t = \frac{4}{3}$ в уравнение прямой:
$ K = (R(1 - \frac{4}{3}), 0, \frac{4}{3} \cdot \frac{H}{2}) $
$ K = (-\frac{R}{3}, 0, \frac{2H}{3}) $

Эта точка $K$ находится на высоте $\frac{2}{3}H$ от основания конуса. Ее $x$-координата $-\frac{R}{3}$ указывает, что она находится на образующей, лежащей в той же осевой плоскости, что и $A$, но по другую сторону от оси $y$ (если $A$ была на положительной оси $x$). Эта образующая соединяет вершину $S$ с точкой $S'$ на основании, которая диаметрально противоположна $A$.

Таким образом, точка пересечения $K$ расположена на образующей $SS'$, на расстоянии $\frac{1}{3}$ радиуса от оси конуса и на высоте $\frac{2}{3}$ от основания.

Ответ: Точка пересечения находится на боковой поверхности конуса, а именно на образующей, лежащей в той же осевой плоскости, что и исходная точка на основании, но на противоположной стороне относительно оси конуса. Эта точка расположена на высоте $\frac{2}{3}$ от основания конуса.