Номер 321, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

321. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $9\sqrt{2}$ см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите высоту равностороннего цилиндра, вписанного в эту пирамиду.

Дано:

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды $L = 9\sqrt{2}$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$.

Цилиндр равносторонний, то есть его высота $h_ц$ равна диаметру $2r_ц$.

Перевод в СИ:

Поскольку все исходные данные выражены в сантиметрах, и нет требования к конечному ответу в единицах СИ, перевод не требуется. Расчеты будут вестись в сантиметрах.

Найти:

Высота равностороннего цилиндра $h_ц$.

Решение:

Пусть $S$ - вершина пирамиды, $ABC$ - ее основание, $O$ - центр основания.

1. Находим высоту пирамиды ($H_п$) и радиус описанной окружности основания ($R_{осн}$).

В правильной треугольной пирамиде проекцией бокового ребра на плоскость основания является радиус описанной окружности основания. Треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией и высотой пирамиды, является прямоугольным. Пусть $H_п$ - высота пирамиды, $R_{осн}$ - радиус описанной окружности основания.

Используем тригонометрические соотношения:

$H_п = L \sin \alpha = 9\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} = 9$ см.

$R_{осн} = L \cos \alpha = 9\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} = 9$ см.

Ответ: Высота пирамиды $H_п = 9$ см, радиус описанной окружности основания $R_{осн} = 9$ см.

2. Находим радиус вписанной окружности основания ($r_{осн}$).

Для правильного (равностороннего) треугольника радиус вписанной окружности $r_{осн}$ связан с радиусом описанной окружности $R_{осн}$ соотношением $r_{осн} = \frac{R_{осн}}{2}$.

$r_{осн} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Ответ: Радиус вписанной окружности основания $r_{осн} = 4.5$ см.

3. Находим высоту равностороннего цилиндра ($h_ц$).

Цилиндр вписан в пирамиду таким образом, что его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а верхнее основание касается боковых граней пирамиды. Ось цилиндра совпадает с высотой пирамиды.

Пусть $h_ц$ - высота цилиндра, $r_ц$ - его радиус. По условию, цилиндр равносторонний, то есть $h_ц = 2r_ц$.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вершина которого совпадает с вершиной пирамиды, а основание - это два радиуса вписанной окружности основания ($2r_{осн}$). Высота этого треугольника - это высота пирамиды ($H_п$).

В этом сечении вписанный цилиндр будет представлен прямоугольником высотой $h_ц$ и шириной $2r_ц$. Вершина пирамиды и верхний край сечения цилиндра образуют маленький треугольник, подобный большому сечению пирамиды.

Высота маленького треугольника будет $H_п - h_ц$, а его "основание" (половина ширины) будет $r_ц$.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H_п - h_ц}{r_ц} = \frac{H_п}{r_{осн}}$

Теперь подставим $r_ц = \frac{h_ц}{2}$ в уравнение:

$\frac{H_п - h_ц}{\frac{h_ц}{2}} = \frac{H_п}{r_{осн}}$

$2 \cdot \frac{H_п - h_ц}{h_ц} = \frac{H_п}{r_{осн}}$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение для $h_ц$:

$2 r_{осн} (H_п - h_ц) = H_п h_ц$

$2 H_п r_{осн} - 2 h_ц r_{осн} = H_п h_ц$

$2 H_п r_{осн} = H_п h_ц + 2 h_ц r_{осн}$

$2 H_п r_{осн} = h_ц (H_п + 2 r_{осн})$

Выразим $h_ц$:

$h_ц = \frac{2 H_п r_{осн}}{H_п + 2 r_{осн}}$

Подставим найденные значения $H_п = 9$ см и $r_{осн} = 4.5$ см:

$h_ц = \frac{2 \cdot 9 \cdot 4.5}{9 + 2 \cdot 4.5}$

$h_ц = \frac{18 \cdot 4.5}{9 + 9}$

$h_ц = \frac{81}{18}$

$h_ц = 4.5$ см.

Ответ: Высота равностороннего цилиндра $h_ц = 4.5$ см.

Ответ:

Высота равностороннего цилиндра составляет $4.5$ см.