Номер 320, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

320. a) Чему равно отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения?

б) Найдите площадь поверхности цилиндра, если площади его основания и осевого сечения равны $Q$ и $S$ соответственно.

a) Чему равно отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения?

Дано:

Цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $h$.

Найти:

Отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения ($S_{бок}/S_{ос}$).

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра ($2r$) и его высоте ($h$).

Площадь осевого сечения цилиндра ($S_{ос}$) вычисляется по формуле: $S_{ос} = (2r) \cdot h = 2rh$.

Найдем отношение площади боковой поверхности к площади осевого сечения:

$\frac{S_{бок}}{S_{ос}} = \frac{2 \pi r h}{2 r h}$

Сократим общие множители $2$, $r$ и $h$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_{бок}}{S_{ос}} = \pi$

Ответ: $\pi$

б) Найдите площадь поверхности цилиндра, если площади его основания и осевого сечения равны Q и S соответственно.

Дано:

Площадь основания цилиндра $Q$.

Площадь осевого сечения цилиндра $S$.

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$).

Решение:

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а высота цилиндра — $h$.

Площадь основания цилиндра ($Q$) выражается формулой: $Q = \pi r^2$.

Площадь осевого сечения цилиндра ($S$) выражается формулой: $S = 2r h$.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2Q$

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Из формулы площади осевого сечения $S = 2rh$ выразим произведение $rh$: $rh = \frac{S}{2}$.

Подставим это выражение для $rh$ в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = 2 \pi \left(\frac{S}{2}\right)$

$S_{бок} = \pi S$

Теперь подставим полученное выражение для $S_{бок}$ в формулу для $S_{полн}$:

$S_{полн} = \pi S + 2Q$

Ответ: $\pi S + 2Q$