Номер 315, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

315. Найдите площадь полной поверхности равностороннего цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна $16\pi \, \text{дм}^2$.

Дано:

Равносторонний цилиндр (это означает, что высота $h$ равна диаметру основания $2r$, т.е. $h = 2r$).

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 16\pi$ дм$^2$.

Перевод в СИ:

$S_{бок} = 16\pi \text{ дм}^2 = 16\pi \times (10^{-1} \text{ м})^2 = 16\pi \times 10^{-2} \text{ м}^2 = 0.16\pi \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

Для равностороннего цилиндра высота $h$ равна диаметру основания $2r$. Таким образом, $h = 2r$.

Формула для площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi r h$.

Подставим условие равностороннего цилиндра ($h = 2r$) в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2$.

По условию задачи $S_{бок} = 16\pi$ дм$^2$. Приравняем это к полученному выражению:

$4\pi r^2 = 16\pi$

Для нахождения радиуса $r$ разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$r^2 = \frac{16\pi}{4\pi}$

$r^2 = 4$

Извлечем квадратный корень. Так как радиус не может быть отрицательным, берем только положительное значение:

$r = \sqrt{4}$

$r = 2$ дм.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$. Площадь круга (основания цилиндра) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$.

Подставим найденное значение радиуса $r = 2$ дм:

$S_{осн} = \pi (2)^2 = 4\pi$ дм$^2$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ состоит из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания (поскольку у цилиндра два основания):

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Подставим известные значения $S_{бок} = 16\pi$ дм$^2$ и $S_{осн} = 4\pi$ дм$^2$:

$S_{полн} = 16\pi + 2(4\pi)$

$S_{полн} = 16\pi + 8\pi$

$S_{полн} = 24\pi$ дм$^2$.

Ответ:

24π дм$^2$.