Номер 310, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

310. Прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см вращается вокруг:

а) его меньшей стороны;

б) большей стороны.

Найдите площадь полной поверхности тела вращения.

Дано:

Стороны прямоугольника: $a = 6 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности тела вращения $S_{полн}$ в случаях а) и б).

Решение:

Тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, является цилиндром. Формула для площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h)$, где $r$ – радиус основания, $h$ – высота цилиндра.

а) его меньшей стороны

При вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны (6 см) эта сторона становится высотой цилиндра, а большая сторона (8 см) становится радиусом основания.

Высота цилиндра: $h_1 = 6 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра: $r_1 = 8 \text{ см}$.

Подставим эти значения в формулу для площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн,1} = 2 \pi r_1 (r_1 + h_1)$

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 8 \text{ см} \cdot (8 \text{ см} + 6 \text{ см})$

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 8 \text{ см} \cdot 14 \text{ см}$

$S_{полн,1} = 224 \pi \text{ см}^2$

В единицах СИ:

$h_1 = 0.06 \text{ м}$, $r_1 = 0.08 \text{ м}$.

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 0.08 \text{ м} \cdot (0.08 \text{ м} + 0.06 \text{ м})$

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 0.08 \text{ м} \cdot 0.14 \text{ м}$

$S_{полн,1} = 0.0224 \pi \text{ м}^2$

Ответ: $S_{полн,1} = 224 \pi \text{ см}^2$ (или $0.0224 \pi \text{ м}^2$)

б) большей стороны

При вращении прямоугольника вокруг его большей стороны (8 см) эта сторона становится высотой цилиндра, а меньшая сторона (6 см) становится радиусом основания.

Высота цилиндра: $h_2 = 8 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра: $r_2 = 6 \text{ см}$.

Подставим эти значения в формулу для площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн,2} = 2 \pi r_2 (r_2 + h_2)$

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot (6 \text{ см} + 8 \text{ см})$

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot 14 \text{ см}$

$S_{полн,2} = 168 \pi \text{ см}^2$

В единицах СИ:

$h_2 = 0.08 \text{ м}$, $r_2 = 0.06 \text{ м}$.

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 0.06 \text{ м} \cdot (0.06 \text{ м} + 0.08 \text{ м})$

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 0.06 \text{ м} \cdot 0.14 \text{ м}$

$S_{полн,2} = 0.0168 \pi \text{ м}^2$

Ответ: $S_{полн,2} = 168 \pi \text{ см}^2$ (или $0.0168 \pi \text{ м}^2$)