Номер 311, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

311. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная $10\sqrt{2}$ см, составляет с образующей угол $45^{\circ}$.

Дано:

Диагональ осевого сечения цилиндра $d_{ax} = 10\sqrt{2}$ см.

Угол между диагональю осевого сечения и образующей $\alpha = 45^\circ$.

Перевод данных в систему СИ:

$d_{ax} = 10\sqrt{2}\text{ см} = 0.1\sqrt{2}\text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра (образующая) $H$ и диаметр основания $2R$. Диагональ осевого сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного этой диагональю, образующей и диаметром основания.

Известно, что угол между диагональю $d_{ax}$ и образующей $H$ равен $\alpha = 45^\circ$.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем высоту $H$ и диаметр $2R$:

$H = d_{ax} \cdot \cos(\alpha)$

$2R = d_{ax} \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем данные значения:

$d_{ax} = 10\sqrt{2}$ см, $\alpha = 45^\circ$.

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислим высоту цилиндра $H$:

$H = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$ см

Вычислим диаметр основания $2R$:

$2R = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$ см

Тогда радиус основания $R$ равен:

$R = \frac{10}{2} = 5$ см

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

где $S_{осн}$ - площадь основания цилиндра, $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности цилиндра.

Формулы для площадей:

$S_{осн} = \pi R^2$

$S_{бок} = 2\pi R H$

Подставим эти формулы в выражение для $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R (R + H)$

Теперь подставим найденные значения $R = 5$ см и $H = 10$ см:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 10)$

$S_{полн} = 10\pi \cdot 15$

$S_{полн} = 150\pi$ см$^2$

Ответ:

$150\pi$ см$^2$