Номер 309, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

309. Существует ли цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна сумме площадей его оснований? Ответ объясните.

Дано:

Цилиндр, у которого площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей его оснований $S_{осн\_общ}$.

$S_{бок} = S_{осн\_общ}$

Найти:

Существует ли такой цилиндр?

Решение:

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Для существования цилиндра необходимо, чтобы $r > 0$ и $h > 0$.

Площадь одного основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.

Сумма площадей двух оснований цилиндра, $S_{осн\_общ}$, будет равна: $S_{осн\_общ} = 2 \cdot S_{осн} = 2 \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности равна сумме площадей его оснований:

$S_{бок} = S_{осн\_общ}$

Подставим формулы для площадей в это уравнение:

$2 \pi r h = 2 \pi r^2$

Теперь необходимо выразить $h$ через $r$ (или наоборот) и проверить, могут ли они быть положительными числами. Разделим обе части уравнения на $2 \pi r$. Так как радиус $r$ должен быть положительным ($r > 0$), то $2 \pi r \neq 0$, и деление корректно:

$\frac{2 \pi r h}{2 \pi r} = \frac{2 \pi r^2}{2 \pi r}$

$h = r$

Полученное равенство $h = r$ означает, что цилиндр, удовлетворяющий условию задачи, существует, если его высота равна радиусу его основания. Поскольку радиус $r$ может быть любым положительным числом (например, 1 см, 5 м, 100 км и т.д.), то и высота $h$ будет положительным числом, равным этому радиусу. Таким образом, такие цилиндры действительно существуют.

Ответ:

Да, такой цилиндр существует. Это цилиндр, у которого высота равна радиусу его основания.