Страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

308. Укажите, какой из рисунков 120, а, б, в, г является изображением развертки боковой поверхности цилиндра с радиусом основания 3 и образующей 6:

a)

3, 6

б)

6, 6

в)

6, $6\pi$

г)

6, $3\pi$

Рисунок 120

Дано

Радиус основания цилиндра: $r = 3$

Образующая (высота) цилиндра: $h = 6$

Найти

Рисунок, являющийся разверткой боковой поверхности цилиндра.

Решение

Боковая поверхность цилиндра при развертывании представляет собой прямоугольник.

Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте (образующей) цилиндра.

Таким образом, высота развертки: $h_{развертки} = h = 6$.

Вторая сторона прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра.

Длина окружности основания цилиндра вычисляется по формуле: $C = 2 \pi r$.

Подставим значение радиуса $r=3$ в формулу: $C = 2 \pi \cdot 3 = 6 \pi$.

Таким образом, развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник с размерами $6$ и $6 \pi$.

Сравним полученные размеры с размерами, указанными на рисунках:

Рисунок а) имеет размеры $3$ и $6$. Не подходит.

Рисунок б) имеет размеры $6$ и $6$. Не подходит.

Рисунок в) имеет размеры $6$ и $6 \pi$. Подходит.

Рисунок г) имеет размеры $6$ и $3 \pi$. Не подходит.

Ответ: Рисунок в).

309. Существует ли цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна сумме площадей его оснований? Ответ объясните.

Дано:

Цилиндр, у которого площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей его оснований $S_{осн\_общ}$.

$S_{бок} = S_{осн\_общ}$

Найти:

Существует ли такой цилиндр?

Решение:

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Для существования цилиндра необходимо, чтобы $r > 0$ и $h > 0$.

Площадь одного основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.

Сумма площадей двух оснований цилиндра, $S_{осн\_общ}$, будет равна: $S_{осн\_общ} = 2 \cdot S_{осн} = 2 \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности равна сумме площадей его оснований:

$S_{бок} = S_{осн\_общ}$

Подставим формулы для площадей в это уравнение:

$2 \pi r h = 2 \pi r^2$

Теперь необходимо выразить $h$ через $r$ (или наоборот) и проверить, могут ли они быть положительными числами. Разделим обе части уравнения на $2 \pi r$. Так как радиус $r$ должен быть положительным ($r > 0$), то $2 \pi r \neq 0$, и деление корректно:

$\frac{2 \pi r h}{2 \pi r} = \frac{2 \pi r^2}{2 \pi r}$

$h = r$

Полученное равенство $h = r$ означает, что цилиндр, удовлетворяющий условию задачи, существует, если его высота равна радиусу его основания. Поскольку радиус $r$ может быть любым положительным числом (например, 1 см, 5 м, 100 км и т.д.), то и высота $h$ будет положительным числом, равным этому радиусу. Таким образом, такие цилиндры действительно существуют.

Ответ:

Да, такой цилиндр существует. Это цилиндр, у которого высота равна радиусу его основания.

310. Прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см вращается вокруг:

а) его меньшей стороны;

б) большей стороны.

Найдите площадь полной поверхности тела вращения.

Дано:

Стороны прямоугольника: $a = 6 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности тела вращения $S_{полн}$ в случаях а) и б).

Решение:

Тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, является цилиндром. Формула для площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h)$, где $r$ – радиус основания, $h$ – высота цилиндра.

а) его меньшей стороны

При вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны (6 см) эта сторона становится высотой цилиндра, а большая сторона (8 см) становится радиусом основания.

Высота цилиндра: $h_1 = 6 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра: $r_1 = 8 \text{ см}$.

Подставим эти значения в формулу для площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн,1} = 2 \pi r_1 (r_1 + h_1)$

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 8 \text{ см} \cdot (8 \text{ см} + 6 \text{ см})$

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 8 \text{ см} \cdot 14 \text{ см}$

$S_{полн,1} = 224 \pi \text{ см}^2$

В единицах СИ:

$h_1 = 0.06 \text{ м}$, $r_1 = 0.08 \text{ м}$.

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 0.08 \text{ м} \cdot (0.08 \text{ м} + 0.06 \text{ м})$

$S_{полн,1} = 2 \pi \cdot 0.08 \text{ м} \cdot 0.14 \text{ м}$

$S_{полн,1} = 0.0224 \pi \text{ м}^2$

Ответ: $S_{полн,1} = 224 \pi \text{ см}^2$ (или $0.0224 \pi \text{ м}^2$)

б) большей стороны

При вращении прямоугольника вокруг его большей стороны (8 см) эта сторона становится высотой цилиндра, а меньшая сторона (6 см) становится радиусом основания.

Высота цилиндра: $h_2 = 8 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра: $r_2 = 6 \text{ см}$.

Подставим эти значения в формулу для площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн,2} = 2 \pi r_2 (r_2 + h_2)$

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot (6 \text{ см} + 8 \text{ см})$

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot 14 \text{ см}$

$S_{полн,2} = 168 \pi \text{ см}^2$

В единицах СИ:

$h_2 = 0.08 \text{ м}$, $r_2 = 0.06 \text{ м}$.

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 0.06 \text{ м} \cdot (0.06 \text{ м} + 0.08 \text{ м})$

$S_{полн,2} = 2 \pi \cdot 0.06 \text{ м} \cdot 0.14 \text{ м}$

$S_{полн,2} = 0.0168 \pi \text{ м}^2$

Ответ: $S_{полн,2} = 168 \pi \text{ см}^2$ (или $0.0168 \pi \text{ м}^2$)

311. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная $10\sqrt{2}$ см, составляет с образующей угол $45^{\circ}$.

Дано:

Диагональ осевого сечения цилиндра $d_{ax} = 10\sqrt{2}$ см.

Угол между диагональю осевого сечения и образующей $\alpha = 45^\circ$.

Перевод данных в систему СИ:

$d_{ax} = 10\sqrt{2}\text{ см} = 0.1\sqrt{2}\text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра (образующая) $H$ и диаметр основания $2R$. Диагональ осевого сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного этой диагональю, образующей и диаметром основания.

Известно, что угол между диагональю $d_{ax}$ и образующей $H$ равен $\alpha = 45^\circ$.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем высоту $H$ и диаметр $2R$:

$H = d_{ax} \cdot \cos(\alpha)$

$2R = d_{ax} \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем данные значения:

$d_{ax} = 10\sqrt{2}$ см, $\alpha = 45^\circ$.

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислим высоту цилиндра $H$:

$H = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$ см

Вычислим диаметр основания $2R$:

$2R = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$ см

Тогда радиус основания $R$ равен:

$R = \frac{10}{2} = 5$ см

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

где $S_{осн}$ - площадь основания цилиндра, $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности цилиндра.

Формулы для площадей:

$S_{осн} = \pi R^2$

$S_{бок} = 2\pi R H$

Подставим эти формулы в выражение для $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R (R + H)$

Теперь подставим найденные значения $R = 5$ см и $H = 10$ см:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 10)$

$S_{полн} = 10\pi \cdot 15$

$S_{полн} = 150\pi$ см$^2$

Ответ:

$150\pi$ см$^2$

312. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, площадь основания которого равна $\pi \text{ дм}^2$, а площадь его осевого сечения - $2 \text{ дм}^2$.

Дано:

$S_{осн} = \pi \, \text{дм}^2$

$S_{сеч} = 2 \, \text{дм}^2$

Перевод в СИ:

$S_{осн} = \pi \, \text{дм}^2 = \pi \cdot (10^{-1} \, \text{м})^2 = \pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2$

$S_{сеч} = 2 \, \text{дм}^2 = 2 \cdot (10^{-1} \, \text{м})^2 = 2 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2$

Найти:

$S_{полн} = ?$

Решение:

Площадь основания цилиндра определяется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – радиус основания. Подставим известное значение площади основания:

$\pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2 = \pi R^2$

Разделим обе части на $\pi$:

$R^2 = 10^{-2} \, \text{м}^2$

Извлечем квадратный корень, учитывая, что радиус должен быть положительным:

$R = \sqrt{10^{-2}} \, \text{м} = 10^{-1} \, \text{м}$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания ($2R$), а другая – высоте цилиндра ($H$). Площадь осевого сечения определяется по формуле: $S_{сеч} = 2R H$. Подставим известные значения $S_{сеч}$ и найденный $R$:

$2 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2 = 2 \cdot (10^{-1} \, \text{м}) \cdot H$

Упростим выражение:

$2 \cdot 10^{-2} = 0.2 H$

Найдем высоту $H$:

$H = \frac{2 \cdot 10^{-2}}{0.2} \, \text{м} = \frac{0.02}{0.2} \, \text{м} = 0.1 \, \text{м}$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ состоит из двух площадей оснований и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Формула: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$. Площадь боковой поверхности определяется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$. Объединяя формулы, получаем: $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H$. Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{полн} = 2 \cdot (\pi \cdot (10^{-1} \, \text{м})^2) + 2\pi \cdot (10^{-1} \, \text{м}) \cdot (10^{-1} \, \text{м})$

$S_{полн} = 2 \cdot (\pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2) + 2\pi \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2$

$S_{полн} = 0.02\pi \, \text{м}^2 + 0.02\pi \, \text{м}^2$

$S_{полн} = 0.04\pi \, \text{м}^2$

Переведем полученный результат обратно в дециметры квадратные (учитывая, что $1 \, \text{м} = 10 \, \text{дм}$, то $1 \, \text{м}^2 = (10 \, \text{дм})^2 = 100 \, \text{дм}^2$):

$S_{полн} = 0.04\pi \cdot 100 \, \text{дм}^2 = 4\pi \, \text{дм}^2$

Ответ: $4\pi \, \text{дм}^2$

313. Найдите площадь полной поверхности равностороннего цилиндра, если его высота равна $h$.

Дано: равносторонний цилиндр, высота которого равна $h$.

Перевод в СИ: Данные представлены в буквенном выражении, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти: Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого высота $h$ равна диаметру основания $D$.

Следовательно, $h = D$.

Так как диаметр $D$ равен двум радиусам $R$ ($D = 2R$), то для равностороннего цилиндра выполняется условие $h = 2R$.

Из этого соотношения выразим радиус основания через высоту: $R = \frac{h}{2}$.

Формула для площади полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ состоит из суммы площадей двух оснований ($2S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi R h$.

Подставим эти формулы в выражение для $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R h$

Теперь подставим выражение для радиуса $R = \frac{h}{2}$ в формулу для $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 + 2 \pi \left(\frac{h}{2}\right) h$

Выполним упрощение выражения:

$S_{полн} = 2 \pi \frac{h^2}{4} + \pi h^2$

$S_{полн} = \frac{\pi h^2}{2} + \pi h^2$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S_{полн} = \frac{\pi h^2}{2} + \frac{2 \pi h^2}{2}$

$S_{полн} = \frac{3 \pi h^2}{2}$

Ответ: Площадь полной поверхности равностороннего цилиндра равна $\frac{3 \pi h^2}{2}$.

314. Каким должен быть радиус основания равностороннего цилиндра, чтобы площадь его полной поверхности была равной:

а) $12\pi \text{ м}^2$;

б) площади поверхности куба с ребром 2 м?

а) 12π м²

Дано:

Равносторонний цилиндр.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн} = 12\pi \text{ м}^2$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Радиус основания цилиндра $r$.

Решение:

Равносторонний цилиндр - это цилиндр, у которого высота $h$ равна диаметру основания, то есть $h = 2r$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.

Подставим $h = 2r$ в формулу площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r (2r)$

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 4\pi r^2$

$S_{полн} = 6\pi r^2$

По условию, $S_{полн} = 12\pi \text{ м}^2$. Приравняем формулу к данному значению:

$6\pi r^2 = 12\pi$

Разделим обе стороны уравнения на $6\pi$:

$r^2 = \frac{12\pi}{6\pi}$

$r^2 = 2$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $r$ (радиус должен быть положительным):

$r = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$ м

б) площади поверхности куба с ребром 2 м?

Дано:

Равносторонний цилиндр.

Ребро куба $a = 2 \text{ м}$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн\_цил}$ равна площади полной поверхности куба $S_{полн\_куб}$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Радиус основания цилиндра $r$.

Решение:

Сначала найдем площадь полной поверхности куба.

Площадь одной грани куба равна $a^2$. У куба 6 граней, поэтому площадь полной поверхности куба $S_{полн\_куб}$ вычисляется по формуле: $S_{полн\_куб} = 6a^2$.

Подставим значение ребра куба $a = 2 \text{ м}$:

$S_{полн\_куб} = 6 \times (2 \text{ м})^2$

$S_{полн\_куб} = 6 \times 4 \text{ м}^2$

$S_{полн\_куб} = 24 \text{ м}^2$

По условию, площадь полной поверхности равностороннего цилиндра равна площади полной поверхности куба:

$S_{полн\_цил} = S_{полн\_куб}$

$S_{полн\_цил} = 24 \text{ м}^2$

Для равностороннего цилиндра (где $h = 2r$), формула площади полной поверхности равна $S_{полн\_цил} = 6\pi r^2$ (как показано в части а)).

Приравняем эту формулу к найденной площади:

$6\pi r^2 = 24$

Разделим обе стороны уравнения на $6\pi$:

$r^2 = \frac{24}{6\pi}$

$r^2 = \frac{4}{\pi}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $r$:

$r = \sqrt{\frac{4}{\pi}}$

$r = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\pi}}$

$r = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ м

315. Найдите площадь полной поверхности равностороннего цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна $16\pi \, \text{дм}^2$.

Дано:

Равносторонний цилиндр (это означает, что высота $h$ равна диаметру основания $2r$, т.е. $h = 2r$).

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 16\pi$ дм$^2$.

Перевод в СИ:

$S_{бок} = 16\pi \text{ дм}^2 = 16\pi \times (10^{-1} \text{ м})^2 = 16\pi \times 10^{-2} \text{ м}^2 = 0.16\pi \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

Для равностороннего цилиндра высота $h$ равна диаметру основания $2r$. Таким образом, $h = 2r$.

Формула для площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi r h$.

Подставим условие равностороннего цилиндра ($h = 2r$) в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2$.

По условию задачи $S_{бок} = 16\pi$ дм$^2$. Приравняем это к полученному выражению:

$4\pi r^2 = 16\pi$

Для нахождения радиуса $r$ разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$r^2 = \frac{16\pi}{4\pi}$

$r^2 = 4$

Извлечем квадратный корень. Так как радиус не может быть отрицательным, берем только положительное значение:

$r = \sqrt{4}$

$r = 2$ дм.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$. Площадь круга (основания цилиндра) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$.

Подставим найденное значение радиуса $r = 2$ дм:

$S_{осн} = \pi (2)^2 = 4\pi$ дм$^2$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ состоит из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания (поскольку у цилиндра два основания):

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Подставим известные значения $S_{бок} = 16\pi$ дм$^2$ и $S_{осн} = 4\pi$ дм$^2$:

$S_{полн} = 16\pi + 2(4\pi)$

$S_{полн} = 16\pi + 8\pi$

$S_{полн} = 24\pi$ дм$^2$.

Ответ:

24π дм$^2$.

316. Прямоугольник с размерами $\sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм и $\sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм является разверткой боковой поверхности двух разных цилиндров. Найдите разность площадей их полных поверхностей.

Дано:

Прямоугольник является разверткой боковой поверхности цилиндров. Его размеры:

$L_1 = \sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм

$L_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм

Найти:

Разность площадей их полных поверхностей, $\Delta S = |S_{полн_2} - S_{полн_1}|$.

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) равна площади прямоугольника, который является ее разверткой. Размеры прямоугольника $L_1$ и $L_2$.

$S_{бок} = L_1 \cdot L_2 = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{24}{\pi}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 24}{\pi \cdot \pi}} = \sqrt{\frac{144}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{\pi^2}} = \frac{12}{\pi}$ дм$^2$.

Эта площадь боковой поверхности одинакова для обоих цилиндров.

Полная площадь поверхности цилиндра ($S_{полн}$) определяется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн}$, где $S_{осн} = \pi r^2$ - площадь основания цилиндра.

Существуют два различных цилиндра, потому что каждая из сторон прямоугольника ($L_1$ или $L_2$) может быть либо высотой цилиндра $h$, либо длиной окружности основания $2\pi r$.

Рассмотрим эти два случая:

Случай 1: Цилиндр 1

Пусть длина окружности основания $2\pi r_1 = L_1 = \sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм, а высота $h_1 = L_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм.

Найдем радиус основания $r_1$:

$r_1 = \frac{L_1}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{6}{\pi}} = \frac{\sqrt{6}}{2\pi\sqrt{\pi}}$ дм.

Найдем площадь основания $S_{осн_1}$:

$S_{осн_1} = \pi r_1^2 = \pi \left( \frac{\sqrt{6}}{2\pi\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{6}{4\pi^2 \cdot \pi} = \frac{6}{4\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$ дм$^2$.

Полная площадь поверхности Цилиндра 1 ($S_{полн_1}$):

$S_{полн_1} = S_{бок} + 2 S_{осн_1} = \frac{12}{\pi} + 2 \cdot \frac{3}{2\pi^2} = \frac{12}{\pi} + \frac{3}{\pi^2}$ дм$^2$.

Случай 2: Цилиндр 2

Пусть длина окружности основания $2\pi r_2 = L_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}$ дм, а высота $h_2 = L_1 = \sqrt{\frac{6}{\pi}}$ дм.

Найдем радиус основания $r_2$:

$r_2 = \frac{L_2}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{24}{\pi}} = \frac{\sqrt{24}}{2\pi\sqrt{\pi}}$ дм.

Найдем площадь основания $S_{осн_2}$:

$S_{осн_2} = \pi r_2^2 = \pi \left( \frac{\sqrt{24}}{2\pi\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{24}{4\pi^2 \cdot \pi} = \frac{24}{4\pi^2} = \frac{6}{\pi^2}$ дм$^2$.

Полная площадь поверхности Цилиндра 2 ($S_{полн_2}$):

$S_{полн_2} = S_{бок} + 2 S_{осн_2} = \frac{12}{\pi} + 2 \cdot \frac{6}{\pi^2} = \frac{12}{\pi} + \frac{12}{\pi^2}$ дм$^2$.

Найдем разность площадей полных поверхностей этих двух цилиндров:

$\Delta S = |S_{полн_2} - S_{полн_1}| = \left| \left( \frac{12}{\pi} + \frac{12}{\pi^2} \right) - \left( \frac{12}{\pi} + \frac{3}{\pi^2} \right) \right|$

$\Delta S = \left| \frac{12}{\pi} + \frac{12}{\pi^2} - \frac{12}{\pi} - \frac{3}{\pi^2} \right|$

$\Delta S = \left| \frac{12}{\pi^2} - \frac{3}{\pi^2} \right|$

$\Delta S = \left| \frac{9}{\pi^2} \right| = \frac{9}{\pi^2}$ дм$^2$.

Ответ:

Разность площадей их полных поверхностей составляет $\frac{9}{\pi^2}$ дм$^2$.

317. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если:

а) развертка его боковой поверхности – квадрат со стороной 1 дм;

б) в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол, равный $60^\circ$, а высота цилиндра равна 2 дм.

а) развертка его боковой поверхности – квадрат со стороной 1 дм

Дано:

Сторона квадрата $a = 1 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $h$, а другая – длине окружности основания $L = 2\pi r$.

В данном случае развертка является квадратом со стороной $a = 1 \text{ дм}$.

Следовательно, высота цилиндра: $h = a = 1 \text{ дм}$.

Длина окружности основания: $2\pi r = a = 1 \text{ дм}$.

Из последнего равенства найдем радиус основания: $r = \frac{a}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \text{ дм}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади квадрата: $S_{бок} = a^2 = (1 \text{ дм})^2 = 1 \text{ дм}^2$.

Площадь основания цилиндра: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{1}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi} \text{ дм}^2$.

Полная площадь поверхности цилиндра находится по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

$S_{полн} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4\pi} = 1 + \frac{1}{2\pi} \text{ дм}^2$.

Ответ: $S_{полн} = \left(1 + \frac{1}{2\pi}\right) \text{ дм}^2$.

б) в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол, равный 60°, а высота цилиндра равна 2 дм.

Дано:

Высота цилиндра $h = 2 \text{ дм}$

Угол между образующей и диагональю развертки $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ (образующая) и длине окружности основания $L = 2\pi r$.

Диагональ этого прямоугольника образует прямоугольный треугольник с его сторонами. Угол $\alpha = 60^\circ$ между образующей $h$ и диагональю находится в этом треугольнике.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $\tan \alpha = \frac{L}{h}$.

Из этого соотношения найдем длину окружности основания $L = h \cdot \tan \alpha$.

$L = 2 \text{ дм} \cdot \tan 60^\circ = 2 \cdot \sqrt{3} \text{ дм}$.

Так как $L = 2\pi r$, то $2\pi r = 2\sqrt{3} \text{ дм}$.

Найдем радиус основания: $r = \frac{2\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \text{ дм}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = L \cdot h = (2\sqrt{3}) \cdot 2 = 4\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

Площадь основания цилиндра: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{3}{\pi^2} = \frac{3}{\pi} \text{ дм}^2$.

Полная площадь поверхности цилиндра: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

$S_{полн} = 4\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{3}{\pi} = \left(4\sqrt{3} + \frac{6}{\pi}\right) \text{ дм}^2$.

Ответ: $S_{полн} = \left(4\sqrt{3} + \frac{6}{\pi}\right) \text{ дм}^2$.

318. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$. Диагональ сечения вдвое больше радиуса цилиндра, равного $4 \text{ см}$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Дано:

Радиус цилиндра $R = 4 \text{ см}$

Угол дуги, отсекаемой плоскостью от окружности основания $\alpha = 90^\circ$

Диагональ сечения $d = 2R$

Перевод в СИ:

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра.

Нам известен радиус $R = 4 \text{ см}$. Для вычисления площади полной поверхности необходимо найти высоту цилиндра $H$.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон – это хорда, отсекающая от окружности основания дугу в $90^\circ$. Обозначим эту хорду как $a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Соединим центр основания с концами хорды. Получится равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны радиусу $R$, а угол между ними составляет $90^\circ$. По теореме Пифагора для этого прямоугольного равнобедренного треугольника найдем длину хорды $a$:

$a^2 = R^2 + R^2$

$a^2 = 2R^2$

$a = R\sqrt{2}$

Подставим значение радиуса $R = 4 \text{ см}$:

$a = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Вторая сторона прямоугольного сечения – это высота цилиндра $H$. Диагональ этого прямоугольного сечения $d$ по условию вдвое больше радиуса цилиндра: $d = 2R$.

$d = 2 \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$

По теореме Пифагора для прямоугольного сечения: $d^2 = a^2 + H^2$.

Подставим известные значения $d = 8 \text{ см}$ и $a = 4\sqrt{2} \text{ см}$:

$(8)^2 = (4\sqrt{2})^2 + H^2$

$64 = (16 \times 2) + H^2$

$64 = 32 + H^2$

$H^2 = 64 - 32$

$H^2 = 32$

$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Теперь, зная радиус $R = 4 \text{ см}$ и высоту $H = 4\sqrt{2} \text{ см}$, можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R H$

$S_{полн} = 2 \pi (4)^2 + 2 \pi (4) (4\sqrt{2})$

$S_{полн} = 2 \pi (16) + 2 \pi (16\sqrt{2})$

$S_{полн} = 32 \pi + 32 \pi \sqrt{2}$

$S_{полн} = 32 \pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ: $32 \pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$