Номер 317, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

317. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если:

а) развертка его боковой поверхности – квадрат со стороной 1 дм;

б) в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол, равный $60^\circ$, а высота цилиндра равна 2 дм.

а) развертка его боковой поверхности – квадрат со стороной 1 дм

Дано:

Сторона квадрата $a = 1 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $h$, а другая – длине окружности основания $L = 2\pi r$.

В данном случае развертка является квадратом со стороной $a = 1 \text{ дм}$.

Следовательно, высота цилиндра: $h = a = 1 \text{ дм}$.

Длина окружности основания: $2\pi r = a = 1 \text{ дм}$.

Из последнего равенства найдем радиус основания: $r = \frac{a}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \text{ дм}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади квадрата: $S_{бок} = a^2 = (1 \text{ дм})^2 = 1 \text{ дм}^2$.

Площадь основания цилиндра: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{1}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi} \text{ дм}^2$.

Полная площадь поверхности цилиндра находится по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

$S_{полн} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4\pi} = 1 + \frac{1}{2\pi} \text{ дм}^2$.

Ответ: $S_{полн} = \left(1 + \frac{1}{2\pi}\right) \text{ дм}^2$.

б) в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол, равный 60°, а высота цилиндра равна 2 дм.

Дано:

Высота цилиндра $h = 2 \text{ дм}$

Угол между образующей и диагональю развертки $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ (образующая) и длине окружности основания $L = 2\pi r$.

Диагональ этого прямоугольника образует прямоугольный треугольник с его сторонами. Угол $\alpha = 60^\circ$ между образующей $h$ и диагональю находится в этом треугольнике.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $\tan \alpha = \frac{L}{h}$.

Из этого соотношения найдем длину окружности основания $L = h \cdot \tan \alpha$.

$L = 2 \text{ дм} \cdot \tan 60^\circ = 2 \cdot \sqrt{3} \text{ дм}$.

Так как $L = 2\pi r$, то $2\pi r = 2\sqrt{3} \text{ дм}$.

Найдем радиус основания: $r = \frac{2\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \text{ дм}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = L \cdot h = (2\sqrt{3}) \cdot 2 = 4\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

Площадь основания цилиндра: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{3}{\pi^2} = \frac{3}{\pi} \text{ дм}^2$.

Полная площадь поверхности цилиндра: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

$S_{полн} = 4\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{3}{\pi} = \left(4\sqrt{3} + \frac{6}{\pi}\right) \text{ дм}^2$.

Ответ: $S_{полн} = \left(4\sqrt{3} + \frac{6}{\pi}\right) \text{ дм}^2$.