Номер 319, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

319. Хватит ли 9 $m^2$ жести для изготовления 20 ведер формы равностороннего цилиндра высотой 30 см, если на швы используется 1 % площади боковой поверхности ведра?

Дано:
Общая площадь жести $S_{общ} = 9 \, \text{м}^2$
Количество ведер $N = 20$
Форма ведра: равносторонний цилиндр ($H = 2R$, где $H$ - высота, $R$ - радиус основания)
Высота ведра $H = 30 \, \text{см}$
Процент площади на швы $P_{швы} = 1\%$ от площади боковой поверхности ведра

Перевод в СИ:
$H = 30 \, \text{см} = 0.3 \, \text{м}$

Найти:
Хватит ли $S_{общ}$ жести для изготовления 20 ведер?

Решение:

Для решения задачи определим площадь жести, требуемую для изготовления одного ведра, с учетом площади, необходимой для швов. Затем умножим эту площадь на количество ведер и сравним полученное значение с имеющейся общей площадью жести.

1. Определим радиус основания ведра. Поскольку цилиндр является равносторонним, его высота $H$ равна его диаметру $D$. Диаметр $D$ равен двум радиусам $2R$. Таким образом, $H = 2R$. Отсюда, радиус $R$ равен половине высоты: $R = \frac{H}{2} = \frac{0.3 \, \text{м}}{2} = 0.15 \, \text{м}$.

2. Вычислим полезную площадь поверхности одного ведра. Ведро имеет дно (площадь круга) и боковую поверхность (площадь боковой поверхности цилиндра). Верхняя часть ведра открыта. Площадь дна $S_{дно} = \pi R^2$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi R H$.
Полезная площадь ведра (без учета швов) $S_{ведро, полезная} = S_{дно} + S_{бок} = \pi R^2 + 2\pi R H$.

Подставим $R = H/2$ в формулу для полезной площади: $S_{ведро, полезная} = \pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{H}{2}\right) H = \pi \frac{H^2}{4} + \pi H^2 = \pi H^2 \left(\frac{1}{4} + 1\right) = \frac{5}{4}\pi H^2 = 1.25 \pi H^2$.

3. Определим площадь жести, используемую на швы. По условию, на швы расходуется $1\%$ от площади боковой поверхности ведра. $S_{швы} = 0.01 \times S_{бок}$.
Мы уже определили, что $S_{бок} = \pi H^2$.
Тогда $S_{швы} = 0.01 \times \pi H^2$.

4. Найдем общую площадь жести, необходимую для изготовления одного ведра, с учетом швов: $S_{одно} = S_{ведро, полезная} + S_{швы} = 1.25 \pi H^2 + 0.01 \pi H^2 = (1.25 + 0.01) \pi H^2 = 1.26 \pi H^2$.

Подставим численное значение $H = 0.3 \, \text{м}$: $S_{одно} = 1.26 \times \pi \times (0.3 \, \text{м})^2 = 1.26 \times \pi \times 0.09 \, \text{м}^2 = 0.1134 \pi \, \text{м}^2$.

5. Вычислим общую площадь жести, необходимую для изготовления 20 ведер: $S_{необходимо} = N \times S_{одно} = 20 \times 0.1134 \pi \, \text{м}^2 = 2.268 \pi \, \text{м}^2$.

Используя значение $\pi \approx 3.14159$: $S_{необходимо} \approx 2.268 \times 3.14159 \, \text{м}^2 \approx 7.1256 \, \text{м}^2$.

6. Сравним требуемую площадь с имеющейся площадью жести: Необходимая площадь $S_{необходимо} \approx 7.1256 \, \text{м}^2$.
Имеющаяся площадь $S_{общ} = 9 \, \text{м}^2$.
Поскольку $7.1256 \, \text{м}^2 < 9 \, \text{м}^2$, имеющейся жести хватит для изготовления 20 ведер.

Ответ:
Да, 9 м² жести хватит для изготовления 20 ведер.