Номер 326, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

326. Цилиндр и правильный октаэдр EABCDF расположены так, что вершины E и F октаэдра являются центрами оснований цилиндра, а вершины A, B, C, D принадлежат цилиндрической поверхности (рисунок 121). Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ребро октаэдра равно $a$.

Рисунок 121

Дано:

Ребро правильного октаэдра: $a$

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$)

Решение:

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра нам необходимо определить его радиус основания ($R$) и высоту ($H$). Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2\pi R^2 + 2\pi RH$.

1. Определим радиус основания цилиндра ($R$).

Вершины $A, B, C, D$ правильного октаэдра образуют квадрат, который вписан в основание цилиндра. Диагональ этого квадрата является диаметром основания цилиндра. Длина стороны квадрата $ABCD$ равна ребру октаэдра, то есть $a$ (поскольку все ребра правильного октаэдра равны).

Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле: $d = a\sqrt{2}$.

Следовательно, диаметр основания цилиндра равен $a\sqrt{2}$.

Радиус основания цилиндра ($R$) равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Определим высоту цилиндра ($H$).

Вершины $E$ и $F$ октаэдра являются центрами оснований цилиндра. Высота цилиндра $H$ равна расстоянию между вершинами $E$ и $F$.

В правильном октаэдре вершины $E$ и $F$ являются противоположными. Расстояние между ними равно главной диагонали октаэдра. Это расстояние можно найти, рассмотрев пирамиду $E-ABCD$, где $E$ - вершина, а $ABCD$ - квадратное основание. Центр этого квадрата $O$ находится на середине отрезка $EF$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $EOA$, где $E$ - вершина октаэдра, $O$ - центр квадрата $ABCD$, $A$ - вершина квадрата. Гипотенуза $EA$ является ребром октаэдра, поэтому $EA = a$. Катет $OA$ равен половине диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = a\sqrt{2}$, поэтому $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику $EOA$:

$EO^2 = EA^2 - OA^2$

$EO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$EO^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4}$

$EO^2 = a^2 - \frac{a^2}{2}$

$EO^2 = \frac{a^2}{2}$

$EO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Высота цилиндра $H$ равна удвоенному расстоянию $EO$, так как $E$ и $F$ симметричны относительно плоскости квадрата $ABCD$:

$H = EF = 2 \cdot EO = 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$.

3. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$).

Используем формулу $S_{цил} = 2\pi R^2 + 2\pi RH$ и подставим найденные значения $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $H = a\sqrt{2}$:

$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)(a\sqrt{2})$

$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{2a^2}{4}\right) + 2\pi \left(\frac{2a^2}{2}\right)$

$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{a^2}{2}\right) + 2\pi (a^2)$

$S_{цил} = \pi a^2 + 2\pi a^2$

$S_{цил} = 3\pi a^2$

Ответ: $3\pi a^2$