Номер 328, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

328. В конусе с радиусом основания 12 см проведены два сечения, параллельные основанию и делящие высоту конуса на три равные части. Найдите площади этих сечений.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 12 \text{ см}$.

Два сечения параллельны основанию и делят высоту конуса на три равные части.

Перевод в СИ:

$R = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$. Для удобства вычислений площади будут даны в $\text{см}^2$, так как исходные данные и требуемый формат ответа подразумевают использование сантиметров.

Найти:

$S_1$ - площадь первого сечения (ближе к вершине конуса).

$S_2$ - площадь второго сечения.

Решение:

Пусть $H$ - полная высота конуса. Сечения, параллельные основанию конуса, являются кругами. Из свойств подобных фигур, отношение радиуса такого сечения к радиусу основания конуса равно отношению расстояния от вершины конуса до сечения к полной высоте конуса. Это свойство вытекает из подобия треугольников, образующихся при рассмотрении осевого сечения конуса.

Согласно условию, высота конуса делится на три равные части. Это означает, что первое сечение (то, что ближе к вершине) находится на расстоянии $h_1 = \frac{H}{3}$ от вершины конуса. Второе сечение находится на расстоянии $h_2 = \frac{2H}{3}$ от вершины конуса.

Для первого сечения, обозначим его радиус как $r_1$. Из подобия конусов имеем:

$\frac{r_1}{R} = \frac{h_1}{H} = \frac{\frac{H}{3}}{H} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим радиус $r_1$:

$r_1 = \frac{R}{3}$

Подставим данное значение радиуса основания $R = 12 \text{ см}$:

$r_1 = \frac{12 \text{ см}}{3} = 4 \text{ см}$

Площадь первого сечения $S_1$ вычисляется по формуле площади круга $S = \pi r^2$:

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi (4 \text{ см})^2 = 16\pi \text{ см}^2$

Для второго сечения, обозначим его радиус как $r_2$. Из подобия конусов имеем:

$\frac{r_2}{R} = \frac{h_2}{H} = \frac{\frac{2H}{3}}{H} = \frac{2}{3}$

Отсюда находим радиус $r_2$:

$r_2 = \frac{2R}{3}$

Подставим данное значение радиуса основания $R = 12 \text{ см}$:

$r_2 = \frac{2 \cdot 12 \text{ см}}{3} = 8 \text{ см}$

Площадь второго сечения $S_2$ вычисляется по формуле площади круга $S = \pi r^2$:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (8 \text{ см})^2 = 64\pi \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь первого сечения (ближе к вершине) $16\pi \text{ см}^2$.

Площадь второго сечения $64\pi \text{ см}^2$.