Номер 333, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

333. Радиус основания равностороннего конуса равен 10 см. Найдите с точностью до 0,1 см радиус сечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, если площадь этого сечения равна площади осевого сечения конуса.

Дано:

Равносторонний конус

Радиус основания $R = 10 \text{ см}$

Плоскость сечения параллельна основанию

Площадь сечения $S_с$ равна площади осевого сечения $S_{ос}$ ($S_с = S_{ос}$)

Требуемая точность: $0.1 \text{ см}$

Перевод данных в систему СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус сечения $r$.

Решение:

Для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания ($l=2R$), а высота $H$ связана с радиусом основания $R$ соотношением $H = R\sqrt{3}$.

Используем данные в системе СИ:

Высота конуса: $H = R\sqrt{3} = 0.1\sqrt{3} \text{ м}$.

Осевое сечение равностороннего конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной $2R$. Площадь осевого сечения $S_{ос}$ вычисляется как площадь треугольника с основанием $2R$ и высотой $H$:

$S_{ос} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times (2R) \times H = R \times H$.

Подставим значения $R$ и $H$:

$S_{ос} = 0.1 \text{ м} \times 0.1\sqrt{3} \text{ м} = 0.01\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является кругом. Пусть радиус этого круга равен $r$.

Площадь такого сечения $S_с$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_с = \pi r^2$.

Согласно условию задачи, площадь сечения равна площади осевого сечения конуса: $S_с = S_{ос}$.

Таким образом, мы можем приравнять выражения для площадей:

$\pi r^2 = 0.01\sqrt{3}$.

Выразим $r^2$:

$r^2 = \frac{0.01\sqrt{3}}{\pi}$.

Вычислим $r$, взяв квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{0.01\sqrt{3}}{\pi}} = 0.1\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\pi}}$.

Используем приближенные значения $\sqrt{3} \approx 1.73205$ и $\pi \approx 3.14159$:

$r \approx 0.1\sqrt{\frac{1.73205}{3.14159}} \approx 0.1\sqrt{0.55138} \approx 0.1 \times 0.74255$.

$r \approx 0.074255 \text{ м}$.

Переведем результат обратно в сантиметры, так как в условии требуется точность до $0.1 \text{ см}$:

$r \approx 0.074255 \times 100 \text{ см} = 7.4255 \text{ см}$.

Округлим полученное значение до $0.1 \text{ см}$:

$r \approx 7.4 \text{ см}$.

Ответ: $7.4 \text{ см}$.