Номер 338, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

338. Найдите площадь основания конуса высотой $h$, в котором имеются три взаимно перпендикулярные образующие.

Дано:

Конус с высотой $h$.

В конусе имеются три взаимно перпендикулярные образующие.

Найти:

Площадь основания конуса ($S_{осн}$).

Решение:

Представим вершину конуса $S$ в начале координат $(0,0,0)$. Пусть $L$ – длина образующей конуса. Так как в конусе имеются три взаимно перпендикулярные образующие, мы можем расположить их вдоль координатных осей. Пусть эти образующие соединяют вершину $S$ с точками $A, B, C$ на окружности основания конуса.

Тогда координаты этих точек будут: $A(L,0,0)$, $B(0,L,0)$, $C(0,0,L)$.

Основание конуса является кругом, проходящим через точки $A, B, C$. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, можно записать как:$\frac{x}{L} + \frac{y}{L} + \frac{z}{L} = 1$Или, умножив на $L$:$x + y + z - L = 0$

Высота конуса $h$ – это перпендикулярное расстояние от вершины $S(0,0,0)$ до плоскости основания ($x+y+z-L=0$). Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ равна $\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.В нашем случае $S(0,0,0)$, а для плоскости $x+y+z-L=0$ имеем $A=1, B=1, C=1, D=-L$.Следовательно, высота $h$ равна:$h = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - L|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-L|}{\sqrt{3}} = \frac{L}{\sqrt{3}}$

Из этого соотношения выразим длину образующей $L$:$L = h\sqrt{3}$

Центр основания конуса $O'$ является проекцией вершины $S(0,0,0)$ на плоскость $x+y+z-L=0$. Линия, проходящая через $S$ и перпендикулярная плоскости, имеет параметрическое уравнение $x=t, y=t, z=t$. Подставим эти выражения в уравнение плоскости, чтобы найти параметр $t$ для точки $O'$:$t+t+t-L=0 \implies 3t=L \implies t=\frac{L}{3}$Таким образом, координаты центра основания $O'$: $(\frac{L}{3}, \frac{L}{3}, \frac{L}{3})$.

Радиус основания $r$ – это расстояние от центра основания $O'$ до любой точки на окружности основания, например, до точки $A(L,0,0)$.Квадрат радиуса $r^2$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:$r^2 = (L - \frac{L}{3})^2 + (0 - \frac{L}{3})^2 + (0 - \frac{L}{3})^2$$r^2 = (\frac{2L}{3})^2 + (-\frac{L}{3})^2 + (-\frac{L}{3})^2$$r^2 = \frac{4L^2}{9} + \frac{L^2}{9} + \frac{L^2}{9} = \frac{6L^2}{9} = \frac{2L^2}{3}$

Теперь подставим найденное ранее значение $L = h\sqrt{3}$ в выражение для $r^2$:$r^2 = \frac{2(h\sqrt{3})^2}{3} = \frac{2(h^2 \cdot 3)}{3} = 2h^2$

Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади круга: $S_{осн} = \pi r^2$.Подставим значение $r^2$:$S_{осн} = \pi (2h^2) = 2\pi h^2$

Ответ: $2\pi h^2$