Номер 337, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

337. a) Найдите ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна 1 дм и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$.

б) В конус вписан куб. Найдите косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении, если середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба.

а) Найдите ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна 1 дм и наклонена к плоскости основания под углом 45°.

Дано:

Образующая конуса $L = 1 \text{ дм}$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$L = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Ребро куба $a$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Пусть $H$ – высота конуса, $R$ – радиус его основания. Из прямого треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей, используя данные об образующей и угле ее наклона, найдем $H$ и $R$:

$H = L \sin \alpha = 1 \cdot \sin 45^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}$

$R = L \cos \alpha = 1 \cdot \cos 45^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}$

Куб вписан в конус таким образом, что его нижняя грань лежит на основании конуса, а вершины верхней грани лежат на поверхности конуса. Пусть $a$ – ребро куба.

Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем куб представляется в виде квадрата со стороной $a$. Нижняя сторона этого квадрата лежит на диаметре основания конуса. Верхние вершины квадрата лежат на образующих конуса. Высота квадрата равна $a$. Радиус окружности, на которой лежат вершины верхней грани куба, равен половине диагонали этой грани: $r_{куба} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Используя подобие треугольников (большой треугольник, образованный осевым сечением конуса, и малый треугольник, образованный вершиной конуса и верхней гранью куба), получаем соотношение:

$\frac{R}{H} = \frac{r_{куба}}{H-a}$

Подставим выражение для $r_{куба}$:

$\frac{R}{H} = \frac{a\sqrt{2}/2}{H-a}$

$R(H-a) = H \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$RH - Ra = \frac{aH\sqrt{2}}{2}$

Перенесем слагаемые, содержащие $a$, в одну сторону:

$RH = Ra + \frac{aH\sqrt{2}}{2}$

$RH = a \left( R + \frac{H\sqrt{2}}{2} \right)$

Выразим $a$:

$a = \frac{RH}{R + \frac{H\sqrt{2}}{2}} = \frac{2RH}{2R + H\sqrt{2}}$

Теперь подставим найденные значения $H = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дм и $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дм:

$a = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}}$

$a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2}-1)$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

Ответ: $\sqrt{2} - 1 \text{ дм}$

б) В конус вписан куб. Найдите косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении, если середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба.

Дано:

Конус, в который вписан куб.

Середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба.

Найти:

Косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении ($\cos \theta$)

Решение:

Пусть $H$ – высота конуса, $R$ – радиус его основания, а $a$ – ребро вписанного куба.

Условие "середина высоты конуса принадлежит верхней грани куба" означает, что высота куба равна половине высоты конуса:

$a = \frac{H}{2}$

Для куба, вписанного в конус (нижняя грань на основании конуса, вершины верхней грани на поверхности конуса), существует зависимость между $a, H, R$, полученная из подобия треугольников осевого сечения (как показано в пункте а)):

$a = \frac{2RH}{2R + H\sqrt{2}}$

Подставим $a = \frac{H}{2}$ в это уравнение:

$\frac{H}{2} = \frac{2RH}{2R + H\sqrt{2}}$

Поскольку $H \neq 0$, можем разделить обе части уравнения на $H$:

$\frac{1}{2} = \frac{2R}{2R + H\sqrt{2}}$

Перемножим крест-накрест:

$1 \cdot (2R + H\sqrt{2}) = 2 \cdot 2R$

$2R + H\sqrt{2} = 4R$

Вычтем $2R$ из обеих частей:

$H\sqrt{2} = 2R$

Выразим $H$ через $R$:

$H = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$

Теперь найдем косинус угла при вершине конуса в его осевом сечении. Пусть этот угол равен $\theta$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$ (половина осевого сечения), половина угла при вершине равна $\frac{\theta}{2}$.

Тангенс половины угла равен отношению противолежащего катета ($R$) к прилежащему катету ($H$):

$\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{R}{H}$

Подставим $H = R\sqrt{2}$:

$\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\frac{\theta}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\theta}{2})}$

Подставим значение $\tan \left( \frac{\theta}{2} \right)$:

$\cos \theta = \frac{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}{1 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$

$\cos \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$