Номер 342, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

342. a) Может ли площадь боковой поверхности конуса быть равной площади его основания?

б) Радиусы оснований и высоты цилиндра и конуса равны. Могут ли быть равными площади их боковых поверхностей?

а)

Дано
Конус с радиусом основания $r$ и образующей $l$.

Найти
Может ли $S_{бок} = S_{осн}$?

Решение
Площадь основания конуса определяется формулой $S_{осн} = \pi r^2$. Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — длина образующей конуса. Предположим, что площади равны: $S_{бок} = S_{осн}$. Тогда $\pi r l = \pi r^2$. Разделим обе части на $\pi r$ (поскольку радиус конуса $r$ не может быть равен нулю для существования конуса): $l = r$. Образующая $l$, радиус основания $r$ и высота конуса $h$ связаны соотношением Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$. Подставим $l = r$ в это уравнение: $r^2 = r^2 + h^2$. Отсюда следует: $h^2 = 0$, то есть $h = 0$. Если высота конуса равна нулю, то конус вырождается в плоский круг (основание), и у него нет боковой поверхности в обычном смысле. Следовательно, для полноценного конуса, у которого $h > 0$, условие $l = r$ невыполнимо.

Ответ: Нет.

б)

Дано
Цилиндр с радиусом основания $r_ц$ и высотой $h_ц$. Конус с радиусом основания $r_к$ и высотой $h_к$. По условию: $r_ц = r_к = r$ и $h_ц = h_к = h$.

Найти
Могут ли $S_{бок_ц} = S_{бок_к}$?

Решение
Площадь боковой поверхности цилиндра определяется формулой $S_{бок_ц} = 2 \pi r h$. Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой $S_{бок_к} = \pi r l_к$, где $l_к$ — длина образующей конуса. Для конуса образующая $l_к$, радиус основания $r$ и высота $h$ связаны соотношением Пифагора: $l_к = \sqrt{r^2 + h^2}$. Подставим это в формулу для площади боковой поверхности конуса: $S_{бок_к} = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Предположим, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны: $S_{бок_ц} = S_{бок_к}$. Тогда $2 \pi r h = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Разделим обе части на $\pi r$ (поскольку $r \neq 0$): $2h = \sqrt{r^2 + h^2}$. Возведем обе части в квадрат: $(2h)^2 = (\sqrt{r^2 + h^2})^2$. $4h^2 = r^2 + h^2$. Вычтем $h^2$ из обеих частей: $3h^2 = r^2$. Извлечем квадратный корень: $r = \sqrt{3h^2}$, что дает $r = h\sqrt{3}$. Таким образом, площади боковых поверхностей цилиндра и конуса могут быть равными, если радиус их оснований равен высоте, умноженной на $\sqrt{3}$. Например, если $h = 1$ м, то $r = \sqrt{3}$ м.

Ответ: Да, могут, если радиус основания $r$ связан с высотой $h$ соотношением $r = h\sqrt{3}$.