Номер 344, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

344. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если:

а) его высота равна 8 дм, а радиус основания – 6 дм;

б) образующая конуса наклонена к основанию под углом $45^\circ$, а его высота равна 4 дм.

а) его высота равна 8 дм, а радиус основания – 6 дм

Дано:

$h = 8 \text{ дм}$

$r = 6 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:

$h = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$r = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, $l$ – образующая конуса.

Высота ($h$), радиус основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. Для нахождения образующей $l$ используем теорему Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Подставляем известные значения:

$l^2 = (6 \text{ дм})^2 + (8 \text{ дм})^2$

$l^2 = 36 \text{ дм}^2 + 64 \text{ дм}^2$

$l^2 = 100 \text{ дм}^2$

$l = \sqrt{100 \text{ дм}^2} = 10 \text{ дм}$

Теперь подставим значения $r$ и $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 6 \text{ дм} \cdot 10 \text{ дм}$

$S_{бок} = 60\pi \text{ дм}^2$

Ответ: $60\pi \text{ дм}^2$

б) образующая конуса наклонена к основанию под углом 45°, а его высота равна 4 дм

Дано:

$\alpha = 45^\circ$ (угол наклона образующей к основанию)

$h = 4 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:

$h = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

$S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, $l$ – образующая конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ($h$), радиусом основания ($r$) и образующей ($l$). Угол между образующей и радиусом основания равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету (радиусу $r$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$

Поскольку $\alpha = 45^\circ$, то $\tan(45^\circ) = 1$.

$1 = \frac{4 \text{ дм}}{r}$

Следовательно, $r = 4 \text{ дм}$.

Так как это прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, он является равнобедренным, и $r=h$.

Теперь найдем образующую $l$ с помощью теоремы Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

$l^2 = (4 \text{ дм})^2 + (4 \text{ дм})^2$

$l^2 = 16 \text{ дм}^2 + 16 \text{ дм}^2$

$l^2 = 32 \text{ дм}^2$

$l = \sqrt{32} \text{ дм} = \sqrt{16 \cdot 2} \text{ дм} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$

Теперь подставим значения $r$ и $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 4 \text{ дм} \cdot 4\sqrt{2} \text{ дм}$

$S_{бок} = 16\pi\sqrt{2} \text{ дм}^2$

Ответ: $16\pi\sqrt{2} \text{ дм}^2$