Номер 351, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

351. Найдите площадь поверхности тела вращения, если:

а) равнобедренный треугольник с углом при основании $60^\circ$ и боковой стороной 8 см вращается вокруг боковой стороны;

б) прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг гипотенузы.

Дано:

а) Равнобедренный треугольник:

угол при основании $\alpha = 60^\circ$

боковая сторона $l = 8 \text{ см}$

б) Прямоугольный треугольник:

катет $a = 6 \text{ см}$

катет $b = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

а) $l = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

б) $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности тела вращения $S$ для случаев а) и б).

Решение:

a) равнобедренный треугольник с углом при основании 60° и боковой стороной 8см вращается вокруг боковой стороны;

Так как равнобедренный треугольник имеет угол при основании $60^\circ$, то второй угол при основании также $60^\circ$. Следовательно, третий угол равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Это означает, что треугольник является равносторонним. Все его стороны равны $8 \text{ см}$.

При вращении равностороннего треугольника вокруг одной из его сторон (например, стороны AB) образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Радиус основания этих конусов $R$ равен высоте $h$ треугольника, опущенной на сторону вращения.

Высота равностороннего треугольника со стороной $L$ вычисляется по формуле $h = \frac{L\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $L = 8 \text{ см}$, поэтому $R = h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Образующие конусов — это оставшиеся две стороны треугольника, которые равны $L = 8 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности одного конуса $S_{бок} = \pi R L_{образующая}$.

Поскольку тело вращения состоит из двух таких конусов (без учета их общих оснований, которые находятся внутри тела), общая площадь поверхности тела вращения будет суммой боковых поверхностей этих двух конусов.

$S_a = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi R L = 2 \cdot \pi \cdot (4\sqrt{3} \text{ см}) \cdot (8 \text{ см})$.

$S_a = 64\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $64\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$

б) прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вращается вокруг гипотенузы.

Найдем длину гипотенузы $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$c = \sqrt{(6 \text{ см})^2 + (8 \text{ см})^2} = \sqrt{36 \text{ см}^2 + 64 \text{ см}^2} = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}$.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуется тело, состоящее из двух конусов, соединенных общим основанием.

Радиус основания этих конусов $R$ равен высоте $h_c$ треугольника, опущенной на гипотенузу.

Высоту $h_c$ можно найти из формулы площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$.

Отсюда $h_c = \frac{ab}{c}$.

$R = h_c = \frac{(6 \text{ см}) \cdot (8 \text{ см})}{10 \text{ см}} = \frac{48 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 4.8 \text{ см}$.

Образующие конусов — это катеты треугольника: $L_1 = 6 \text{ см}$ и $L_2 = 8 \text{ см}$.

Площадь поверхности тела вращения будет суммой боковых поверхностей этих двух конусов.

$S_б = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R L_1 + \pi R L_2 = \pi R (L_1 + L_2)$.

$S_б = \pi \cdot (4.8 \text{ см}) \cdot (6 \text{ см} + 8 \text{ см}) = \pi \cdot (4.8 \text{ см}) \cdot (14 \text{ см})$.

$S_б = 67.2\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $67.2\pi \text{ см}^2$