Страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

349. Коническая жестяная воронка должна иметь диаметр основания 10 см и высоту 12 см. Найдите размеры ее заготовки (радиус и угол сектора развертки боковой поверхности конуса).

Дано:

Диаметр основания конуса $D = 10 \text{ см}$

Высота конуса $H = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Диаметр основания конуса $D = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Высота конуса $H = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Радиус заготовки (образующую конуса) $L$

Угол сектора развертки $\alpha$

Решение:

Для определения размеров заготовки конической воронки, которая представляет собой сектор круга, необходимо найти ее радиус и угол.

1. Сначала найдем радиус основания конуса $r$.

$r = \frac{D}{2}$

$r = \frac{10 \text{ см}}{2}$

$r = 5 \text{ см}$

2. Радиус заготовки соответствует образующей конуса $L$. Образующая конуса, высота конуса $H$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Воспользуемся теоремой Пифагора:

$L^2 = r^2 + H^2$

$L = \sqrt{r^2 + H^2}$

$L = \sqrt{(5 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2}$

$L = \sqrt{25 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2}$

$L = \sqrt{169 \text{ см}^2}$

$L = 13 \text{ см}$

Таким образом, радиус заготовки составляет $13 \text{ см}$.

3. Далее найдем угол сектора развертки $\alpha$. Длина дуги сектора развертки боковой поверхности конуса равна длине окружности основания конуса. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$.

Длина окружности основания конуса $C_{осн} = 2 \pi r$.

Длина окружности полного круга с радиусом $L$ (радиусом сектора) $C_{полн} = 2 \pi L$.

Отношение угла сектора к $360^\circ$ равно отношению длины дуги сектора к длине полной окружности с радиусом $L$:

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{C_{осн}}{C_{полн}}$

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{2 \pi r}{2 \pi L}$

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{L}$

Выразим угол $\alpha$:

$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{L}$

Подставим значения $r = 5 \text{ см}$ и $L = 13 \text{ см}$:

$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{5 \text{ см}}{13 \text{ см}}$

$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{5}{13}$

$\alpha = \frac{1800}{13} \text{ градусов}$

$\alpha \approx 138.46^\circ$

Ответ:

Радиус заготовки (образующая конуса) составляет $13 \text{ см}$, угол сектора развертки составляет $\frac{1800}{13} \text{ градусов}$ (приблизительно $138.46^\circ$).

350. Найдите площадь осевого сечения конуса, если его высота равна 6 дм, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.

Дано:

Высота конуса $h = 6$ дм.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вдвое больше площади основания $S_{осн}$: $S_{бок} = 2 S_{осн}$.

Перевод в СИ:

$h = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$.

Найти:

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$.

Решение:

1. Запишем формулы для площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$ конуса:

$S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ - радиус основания конуса.

$S_{бок} = \pi r l$, где $l$ - образующая конуса.

2. По условию задачи, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания: $S_{бок} = 2 S_{осн}$.

Подставим формулы площадей в это равенство:

$\pi r l = 2 \pi r^2$

3. Разделим обе части уравнения на $\pi r$ (так как $r \neq 0$):

$l = 2r$

Это соотношение между образующей и радиусом основания конуса.

4. Используем теорему Пифагора для связи высоты $h$, радиуса $r$ и образующей $l$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей конуса:

$l^2 = r^2 + h^2$

5. Подставим выражение для $l$ из шага 3 ($l = 2r$) в уравнение теоремы Пифагора:

$(2r)^2 = r^2 + h^2$

$4r^2 = r^2 + h^2$

6. Выразим $r^2$ через $h^2$:

$3r^2 = h^2$

$r^2 = \frac{h^2}{3}$

7. Найдем радиус $r$, подставив значение высоты $h = 6$ дм:

$r = \sqrt{\frac{h^2}{3}} = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ дм.

8. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса ($2r$), а высотой - высота конуса ($h$).

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$

9. Подставим найденное значение радиуса $r$ и данную высоту $h$ в формулу площади осевого сечения:

$S_{сеч} = (2\sqrt{3} \text{ дм}) \cdot (6 \text{ дм})$

$S_{сеч} = 12\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ:

$12\sqrt{3}$ дм$^2$.

351. Найдите площадь поверхности тела вращения, если:

а) равнобедренный треугольник с углом при основании $60^\circ$ и боковой стороной 8 см вращается вокруг боковой стороны;

б) прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг гипотенузы.

Дано:

а) Равнобедренный треугольник:

угол при основании $\alpha = 60^\circ$

боковая сторона $l = 8 \text{ см}$

б) Прямоугольный треугольник:

катет $a = 6 \text{ см}$

катет $b = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

а) $l = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

б) $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности тела вращения $S$ для случаев а) и б).

Решение:

a) равнобедренный треугольник с углом при основании 60° и боковой стороной 8см вращается вокруг боковой стороны;

Так как равнобедренный треугольник имеет угол при основании $60^\circ$, то второй угол при основании также $60^\circ$. Следовательно, третий угол равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Это означает, что треугольник является равносторонним. Все его стороны равны $8 \text{ см}$.

При вращении равностороннего треугольника вокруг одной из его сторон (например, стороны AB) образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Радиус основания этих конусов $R$ равен высоте $h$ треугольника, опущенной на сторону вращения.

Высота равностороннего треугольника со стороной $L$ вычисляется по формуле $h = \frac{L\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $L = 8 \text{ см}$, поэтому $R = h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Образующие конусов — это оставшиеся две стороны треугольника, которые равны $L = 8 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности одного конуса $S_{бок} = \pi R L_{образующая}$.

Поскольку тело вращения состоит из двух таких конусов (без учета их общих оснований, которые находятся внутри тела), общая площадь поверхности тела вращения будет суммой боковых поверхностей этих двух конусов.

$S_a = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi R L = 2 \cdot \pi \cdot (4\sqrt{3} \text{ см}) \cdot (8 \text{ см})$.

$S_a = 64\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $64\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$

б) прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вращается вокруг гипотенузы.

Найдем длину гипотенузы $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$c = \sqrt{(6 \text{ см})^2 + (8 \text{ см})^2} = \sqrt{36 \text{ см}^2 + 64 \text{ см}^2} = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}$.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуется тело, состоящее из двух конусов, соединенных общим основанием.

Радиус основания этих конусов $R$ равен высоте $h_c$ треугольника, опущенной на гипотенузу.

Высоту $h_c$ можно найти из формулы площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$.

Отсюда $h_c = \frac{ab}{c}$.

$R = h_c = \frac{(6 \text{ см}) \cdot (8 \text{ см})}{10 \text{ см}} = \frac{48 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 4.8 \text{ см}$.

Образующие конусов — это катеты треугольника: $L_1 = 6 \text{ см}$ и $L_2 = 8 \text{ см}$.

Площадь поверхности тела вращения будет суммой боковых поверхностей этих двух конусов.

$S_б = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R L_1 + \pi R L_2 = \pi R (L_1 + L_2)$.

$S_б = \pi \cdot (4.8 \text{ см}) \cdot (6 \text{ см} + 8 \text{ см}) = \pi \cdot (4.8 \text{ см}) \cdot (14 \text{ см})$.

$S_б = 67.2\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $67.2\pi \text{ см}^2$

352. Найдите площадь поверхности тела, полученного в результате вращения ромба со стороной 4 см и углом $30^\circ$ вокруг:

а) его стороны;

б) его меньшей диагонали.

Дано:

Ромб со стороной $a = 4 \text{ см}$ и углом $\alpha = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

a) Площадь поверхности тела, полученного вращением ромба вокруг его стороны ($S_a$).

б) Площадь поверхности тела, полученного вращением ромба вокруг его меньшей диагонали ($S_b$).

Решение:

a) его стороны

При вращении ромба вокруг одной из его сторон образуется тело, состоящее из центрального цилиндра и двух конусов, расположенных по бокам (если смотреть вдоль оси вращения). Поверхность этого тела включает боковую поверхность цилиндра и боковые поверхности двух конусов. Ось вращения совпадает со стороной ромба. Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте ромба $h$, а образующая конусов (и длина цилиндра) равна стороне ромба $a$.

Высота ромба $h$ (перпендикуляр от вершины к стороне, вокруг которой происходит вращение) определяется как $h = a \sin \alpha$.

Боковая поверхность одного конуса: $S_{\text{конус}} = \pi r L = \pi h a = \pi (a \sin \alpha) a = \pi a^2 \sin \alpha$.

Боковая поверхность цилиндра: $S_{\text{цилиндр}} = 2 \pi r H = 2 \pi h a = 2 \pi (a \sin \alpha) a = 2 \pi a^2 \sin \alpha$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S_a$ складывается из боковых поверхностей двух конусов и боковой поверхности цилиндра:

$S_a = 2 S_{\text{конус}} + S_{\text{цилиндр}} = 2 (\pi a^2 \sin \alpha) + (2 \pi a^2 \sin \alpha) = 4 \pi a^2 \sin \alpha$.

Подставим значения: $a = 4 \text{ см}$, $\alpha = 30^\circ$. Так как $\sin 30^\circ = 0.5$:

$S_a = 4 \pi (4 \text{ см})^2 \cdot 0.5 = 4 \pi (16 \text{ см}^2) \cdot 0.5 = 32 \pi \text{ см}^2$.

Ответ:

$32 \pi \text{ см}^2$.

б) его меньшей диагонали

При вращении ромба вокруг его меньшей диагонали образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями (биконус).

Меньшая диагональ ромба соответствует острому углу $\alpha = 30^\circ$. Следовательно, ось вращения - это диагональ, соединяющая вершины с тупыми углами. Радиус основания конусов $r$ равен половине большей диагонали ромба, а образующая конусов равна стороне ромба $a$.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба. Угол при вершине, соответствующей острому углу ромба, равен $\alpha/2$.

Радиус основания конуса $r$ (половина большей диагонали) можно найти как $r = a \cos(\alpha/2)$.

Образующая конуса $L = a$.

Боковая поверхность одного конуса: $S_{\text{конус}} = \pi r L = \pi (a \cos(\alpha/2)) a = \pi a^2 \cos(\alpha/2)$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S_b$ равна удвоенной боковой поверхности одного конуса:

$S_b = 2 S_{\text{конус}} = 2 \pi a^2 \cos(\alpha/2)$.

Подставим значения: $a = 4 \text{ см}$, $\alpha = 30^\circ$, так что $\alpha/2 = 15^\circ$.

Для $\cos 15^\circ$ используем формулу $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$S_b = 2 \pi (4 \text{ см})^2 \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 2 \pi (16 \text{ см}^2) \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 32 \pi \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \text{ см}^2 = 8 \pi (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Ответ:

$8 \pi (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

353. В равносторонний конус вписана правильная шестиугольная пирамида. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре ее основания.

Дано:

Равносторонний конус, в который вписана правильная шестиугольная пирамида.

Перевод в СИ:

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются отношениями или углами без конкретных единиц измерения длины.

Найти:

Двугранный угол пирамиды при ребре ее основания.

Решение:

Пусть $R$ - радиус основания равностороннего конуса.

По определению равностороннего конуса, его образующая $L$ равна диаметру основания, то есть $L = 2R$.

Высота конуса $H$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей: $H^2 + R^2 = L^2$ $H^2 + R^2 = (2R)^2$ $H^2 + R^2 = 4R^2$ $H^2 = 3R^2$ $H = R\sqrt{3}$

Так как правильная шестиугольная пирамида вписана в конус, это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в окружность основания конуса.

Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса: $H_{пир} = H = R\sqrt{3}$.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне. Поэтому, если $a$ - сторона основания шестиугольной пирамиды, то $a = R$.

Двугранный угол при ребре основания пирамиды - это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Чтобы найти этот угол, рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему основания.

Апофема правильного шестиугольника (радиус вписанной окружности) $r_h$ с центром в точке $O$ и стороной $a$ вычисляется по формуле: $r_h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляя $a=R$: $r_h = R \frac{\sqrt{3}}{2}$

Пусть $S$ - вершина пирамиды, $O$ - центр ее основания, и $M$ - середина ребра основания. Тогда $SO$ - высота пирамиды ($H$), $OM$ - апофема основания ($r_h$), а $SM$ - апофема боковой грани.

Треугольник $SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Искомый двугранный угол $\alpha$ равен углу $\angle SMO$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$: $\tan \alpha = \frac{SO}{OM}$ $\tan \alpha = \frac{H}{r_h}$

Подставляем найденные значения $H$ и $r_h$: $\tan \alpha = \frac{R\sqrt{3}}{R \frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\tan \alpha = \frac{1}{\frac{1}{2}}$ $\tan \alpha = 2$

Таким образом, двугранный угол при ребре основания пирамиды равен $\arctan(2)$.

Ответ:

$\arctan(2)$

354. Найдите высоту конуса, в который вписана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания $a$ и углом $30^\circ$ между соседними боковыми ребрами.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида вписана в конус.

Сторона основания пирамиды: $a$

Угол между соседними боковыми ребрами пирамиды: $\alpha = 30^\circ$

Найти:

Высоту конуса $H$.

Решение:

1. Обозначим высоту конуса как $H$, радиус основания конуса как $R$, а длину бокового ребра пирамиды как $L$. Поскольку конус описан вокруг правильной четырехугольной пирамиды, вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса является окружностью, описанной вокруг основания пирамиды. Основание правильной четырехугольной пирамиды — это квадрат со стороной $a$.

2. Найдем радиус $R$ основания конуса. Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$.

$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, $R^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания. Этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $L$ и основанием $a$. Угол между боковыми ребрами равен $30^\circ$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(30^\circ)$

$a^2 = 2L^2 - 2L^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 2L^2 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = L^2 (2 - \sqrt{3})$

Выразим $L^2$:

$L^2 = \frac{a^2}{2 - \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:

$L^2 = \frac{a^2 (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{a^2 (2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = a^2 (2 + \sqrt{3})$

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$ (конуса), радиусом основания конуса $R$ и боковым ребром пирамиды $L$. Гипотенузой является боковое ребро $L$. По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = L^2 - R^2$

Подставим найденные выражения для $L^2$ и $R^2$:

$H^2 = a^2 (2 + \sqrt{3}) - \frac{a^2}{2}$

$H^2 = a^2 \left(2 + \sqrt{3} - \frac{1}{2}\right)$

$H^2 = a^2 \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{3}\right)$

$H^2 = a^2 \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$

Извлечем квадратный корень:

$H = a\sqrt{\frac{3}{2} + \sqrt{3}}$

Ответ:

$H = a\sqrt{\frac{3}{2} + \sqrt{3}}$

355. Найдите наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в конус с высотой 12 дм и радиусом основания 5 дм.

Дано:

Высота конуса $H = 12 \text{ дм}$

Радиус основания конуса $R = 5 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:
$H = 12 \text{ дм} = 1.2 \text{ м}$
$R = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок, max}$

Решение:

Пусть $r$ - радиус основания вписанного цилиндра, а $h$ - его высота.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него цилиндра. Это будет равнобедренный треугольник, в который вписан прямоугольник.
Из подобия треугольников (большого треугольника, образованного высотой конуса, радиусом основания и образующей, и малого треугольника, образованного вершиной конуса, радиусом верхней грани цилиндра и образующей) следует соотношение:
$\frac{H}{R} = \frac{H - h}{r}$
Подставим известные значения $H = 12 \text{ дм}$ и $R = 5 \text{ дм}$:
$\frac{12}{5} = \frac{12 - h}{r}$
Выразим $h$ через $r$:
$12r = 5(12 - h)$
$12r = 60 - 5h$
$5h = 60 - 12r$
$h = \frac{60 - 12r}{5} = 12 - \frac{12}{5}r$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок}(r) = 2 \pi r \left(12 - \frac{12}{5}r\right)$
$S_{бок}(r) = 24 \pi r - \frac{24 \pi}{5}r^2$

Мы получили квадратичную функцию площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}(r)$ относительно его радиуса $r$. Эта функция является параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $r^2$ отрицательный). Максимальное значение функции достигается в вершине параболы. Координата вершины по оси $r$ находится по формуле $r = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -\frac{24 \pi}{5}$ и $b = 24 \pi$.
$r_{max} = -\frac{24 \pi}{2 \left(-\frac{24 \pi}{5}\right)} = -\frac{24 \pi}{-\frac{48 \pi}{5}} = \frac{24 \pi \cdot 5}{48 \pi} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ дм}$

Теперь найдем соответствующую высоту цилиндра при этом радиусе:
$h = 12 - \frac{12}{5}r_{max} = 12 - \frac{12}{5}(2.5) = 12 - \frac{12}{5}\left(\frac{5}{2}\right) = 12 - 6 = 6 \text{ дм}$

Наконец, вычислим наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок, max} = 2 \pi r_{max} h = 2 \pi (2.5 \text{ дм}) (6 \text{ дм}) = 2 \pi (15) \text{ дм}^2 = 30 \pi \text{ дм}^2$

Ответ: $30 \pi \text{ дм}^2$

356. В конусе радиус основания относится к его высоте как 1 : $\sqrt{2}$. Найдите угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.

Дано

Конус, в него вписана правильная треугольная пирамида.

Отношение радиуса основания конуса $R$ к его высоте $H$: $R/H = 1/\sqrt{2}$.

Найти:

Угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды ($\beta$).

Перевод в СИ

Данные представлены в виде отношения, не требуют перевода в СИ, так как являются безразмерными величинами.

Решение

1. Определение параметров пирамиды

Поскольку правильная треугольная пирамида вписана в конус, её вершина совпадает с вершиной конуса, а основание (правильный треугольник) вписано в основание конуса. Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса $H$, а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен радиусу основания конуса $R$.

2. Выбор системы координат

Расположим центр основания конуса (и пирамиды) в начале координат $O(0, 0, 0)$. Вершина пирамиды $S$ будет лежать на оси $z$, то есть $S(0, 0, H)$. Вершины основания пирамиды (правильного треугольника) $A, B, C$ лежат на окружности радиуса $R$ в плоскости $xy$.
Координаты вершин основания можно задать следующим образом:
$A = (R, 0, 0)$
$B = (R\cos(2\pi/3), R\sin(2\pi/3), 0) = (-R/2, R\sqrt{3}/2, 0)$
$C = (R\cos(4\pi/3), R\sin(4\pi/3), 0) = (-R/2, -R\sqrt{3}/2, 0)$

3. Нахождение нормальных векторов к боковым граням

Для определения угла между двумя плоскостями (боковыми гранями) найдем векторы нормали к этим плоскостям. Рассмотрим грани $SBC$ и $SAB$.

Грань $SBC$:
Векторы, лежащие в плоскости грани:
$\vec{SB} = B - S = (-R/2, R\sqrt{3}/2, -H)$
$\vec{SC} = C - S = (-R/2, -R\sqrt{3}/2, -H)$
Вектор нормали $\vec{n_1}$ к грани $SBC$ можно найти как векторное произведение $\vec{SB} \times \vec{SC}$:
$\vec{n_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -R/2 & R\sqrt{3}/2 & -H \\ -R/2 & -R\sqrt{3}/2 & -H \end{vmatrix}$
$\vec{n_1} = \mathbf{i}((-R\sqrt{3}/2)(-H) - (-H)(-R\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((-R/2)(-H) - (-H)(-R/2)) + \mathbf{k}((-R/2)(-R\sqrt{3}/2) - (R\sqrt{3}/2)(-R/2))$
$\vec{n_1} = \mathbf{i}(-R\sqrt{3}H/2 - R\sqrt{3}H/2) - \mathbf{j}(RH/2 - RH/2) + \mathbf{k}(R^2\sqrt{3}/4 + R^2\sqrt{3}/4)$
$\vec{n_1} = (-R\sqrt{3}H, 0, R^2\sqrt{3}/2)$.
Для удобства вычислений можно упростить вектор нормали, разделив его на общий множитель $R\sqrt{3}/2$:
$\vec{n_1}' = (-2H, 0, R)$.

Грань $SAB$:
Векторы, лежащие в плоскости грани:
$\vec{SA} = A - S = (R, 0, -H)$
$\vec{SB} = B - S = (-R/2, R\sqrt{3}/2, -H)$
Вектор нормали $\vec{n_2}$ к грани $SAB$ можно найти как векторное произведение $\vec{SA} \times \vec{SB}$:
$\vec{n_2} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ R & 0 & -H \\ -R/2 & R\sqrt{3}/2 & -H \end{vmatrix}$
$\vec{n_2} = \mathbf{i}(0 - (-HR\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-RH - HR/2) + \mathbf{k}(R^2\sqrt{3}/2 - 0)$
$\vec{n_2} = (HR\sqrt{3}/2, 3RH/2, R^2\sqrt{3}/2)$.
Упростим вектор нормали, разделив его на общий множитель $R/2$:
$\vec{n_2}' = (H\sqrt{3}, 3H, R\sqrt{3})$.

4. Вычисление угла между нормальными векторами

Угол $\beta$ между двумя плоскостями (боковыми гранями) равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла $\beta$ определяется по формуле скалярного произведения векторов:
$\cos \beta = \frac{\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'}{|\vec{n_1}'| |\vec{n_2}'|}$
Скалярное произведение:
$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (-2H)(H\sqrt{3}) + (0)(3H) + (R)(R\sqrt{3})$
$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = -2H^2\sqrt{3} + R^2\sqrt{3} = \sqrt{3}(R^2 - 2H^2)$.
Модули векторов:
$|\vec{n_1}'| = \sqrt{(-2H)^2 + 0^2 + R^2} = \sqrt{4H^2 + R^2}$.
$|\vec{n_2}'| = \sqrt{(H\sqrt{3})^2 + (3H)^2 + (R\sqrt{3})^2} = \sqrt{3H^2 + 9H^2 + 3R^2} = \sqrt{12H^2 + 3R^2} = \sqrt{3(4H^2 + R^2)} = \sqrt{3}\sqrt{4H^2 + R^2}$.
Подставим полученные значения в формулу для $\cos \beta$:
$\cos \beta = \frac{\sqrt{3}(R^2 - 2H^2)}{\sqrt{4H^2 + R^2} \cdot \sqrt{3}\sqrt{4H^2 + R^2}} = \frac{R^2 - 2H^2}{4H^2 + R^2}$.

5. Использование данного отношения

По условию задачи, радиус основания конуса относится к его высоте как $1 : \sqrt{2}$, то есть $R/H = 1/\sqrt{2}$. Отсюда следует $R = H/\sqrt{2}$, или $R^2 = H^2/2$.
Подставим это отношение в выражение для $\cos \beta$:
$\cos \beta = \frac{H^2/2 - 2H^2}{4H^2 + H^2/2} = \frac{(H^2 - 4H^2)/2}{(8H^2 + H^2)/2} = \frac{-3H^2/2}{9H^2/2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$.

6. Определение угла

Таким образом, угол $\beta$ между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен $\arccos(-1/3)$. Поскольку косинус угла отрицательный, этот угол является тупым, что соответствует геометрии правильной треугольной пирамиды, где боковые грани сходятся под тупым углом.

Ответ:
Угол между боковыми гранями равен $\arccos(-1/3)$.

357. В правильной треугольной пирамиде вершина основания удалена на 10 см от противолежащей боковой грани. В пирамиду вписан конус, образующая которого наклонена к основанию под углом 75°. Найдите высоту и радиус основания конуса.

Дано:

Расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани: $d = 10 \text{ см}$

Угол наклона образующей вписанного конуса к основанию: $\alpha = 75^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 75^\circ$

Найти:

Высоту конуса: $H_c$

Радиус основания конуса: $r_c$

Решение:

обозначим высоту правильной треугольной пирамиды через $H$, а радиус вписанной в ее основание окружности (который также является радиусом основания вписанного конуса) через $r$.

для правильной треугольной пирамиды, расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани ($d$) может быть выражено через высоту пирамиды $H$ и радиус $r$.

рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$, центр основания $O$ и середину $M$ стороны основания, противоположной рассматриваемой вершине $A$. в этом сечении лежит прямоугольный треугольник $\triangle SOM$, где $SO = H$ (высота пирамиды), $OM = r$ (радиус вписанной окружности основания), и $SM = h_s$ (апофема боковой грани).

длина отрезка $AM$, являющегося высотой правильного треугольника в основании, равна $3r$.

расстояние $d$ от вершины $A$ до противолежащей боковой грани $SBC$ является высотой, опущенной из вершины $A$ на апофему $SM$ в треугольнике $\triangle ASM$.

площадь треугольника $\triangle ASM$ может быть выражена двумя способами:

$s_{\triangle asm} = \frac{1}{2} \cdot am \cdot so = \frac{1}{2} \cdot 3r \cdot h$

$s_{\triangle asm} = \frac{1}{2} \cdot sm \cdot d = \frac{1}{2} \cdot h_s \cdot d$

приравнивая эти выражения, получаем:

$3rh = h_s d$

из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ имеем $h_s = \sqrt{h^2 + r^2}$.

таким образом, $d = \frac{3rh}{\sqrt{h^2 + r^2}}$.

по условию, $d = 10 \text{ см}$. поэтому:

$10 = \frac{3rh}{\sqrt{h^2 + r^2}} \quad (*)$

для вписанного конуса, его высота $H_c$ равна высоте пирамиды $H$, а радиус основания $r_c$ равен радиусу $r$.

образующая конуса наклонена к основанию под углом $\alpha = 75^\circ$. из свойств прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом его основания и образующей, имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{h_c}{r_c} \implies \tan(75^\circ) = \frac{h}{r}$

отсюда $h = r \tan(75^\circ)$.

подставим это выражение для $H$ в уравнение $(*)$:

$10 = \frac{3r(r \tan(75^\circ))}{\sqrt{(r \tan(75^\circ))^2 + r^2}}$

$10 = \frac{3r^2 \tan(75^\circ)}{\sqrt{r^2 (\tan^2(75^\circ) + 1)}}$

$10 = \frac{3r^2 \tan(75^\circ)}{r \sqrt{\tan^2(75^\circ) + 1}}$

так как $\sqrt{\tan^2(\alpha) + 1} = \sqrt{\sec^2(\alpha)} = \sec(\alpha)$ (для острого угла), то:

$10 = \frac{3r \tan(75^\circ)}{\sec(75^\circ)}$

заменим $\tan(75^\circ) = \frac{\sin(75^\circ)}{\cos(75^\circ)}$ и $\sec(75^\circ) = \frac{1}{\cos(75^\circ)}$:

$10 = 3r \frac{\sin(75^\circ)/\cos(75^\circ)}{1/\cos(75^\circ)}$

$10 = 3r \sin(75^\circ)$

найдем радиус $r$:

$r = \frac{10}{3 \sin(75^\circ)}$

значение $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{}$.

тогда:

$r = \frac{10}{3 \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)} = \frac{40}{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:

$r = \frac{40(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{40(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3(6 - 2)} = \frac{40(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 4} = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3} \text{ см}$

теперь найдем высоту $H = r \tan(75^\circ)$.

значение $\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.

для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} + 1)$:

$\tan(75^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

тогда:

$h = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3} \cdot (2 + \sqrt{3})$

$h = \frac{10}{3} (2\sqrt{6} + \sqrt{18} - 2\sqrt{2} - \sqrt{6})$

$h = \frac{10}{3} (2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{6})$

$h = \frac{10}{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см}$

Ответ:

Радиус основания конуса: $r_c = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3} \text{ см}$

Высота конуса: $H_c = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3} \text{ см}$