Страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

370. Равнобедренная трапеция с основаниями 4 см, 10 см и боковой стороной 5 см вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Дано:

Основания равнобедренной трапеции: $b_1 = 4 \text{ см}$, $b_2 = 10 \text{ см}$

Боковая сторона трапеции: $l = 5 \text{ см}$

Трапеция вращается вокруг своей оси симметрии.

Перевод в СИ:

$b_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$b_2 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

При вращении равнобедренной трапеции вокруг своей оси симметрии образуется усеченный конус. Ось симметрии трапеции является осью этого усеченного конуса. Радиусы оснований усеченного конуса будут равны половинам длин оснований трапеции, а боковая сторона трапеции будет являться образующей усеченного конуса.

Найдем радиусы оснований усеченного конуса:

Радиус меньшего основания: $R_1 = b_1 / 2 = 4 \text{ см} / 2 = 2 \text{ см}$.

Радиус большего основания: $R_2 = b_2 / 2 = 10 \text{ см} / 2 = 5 \text{ см}$.

Образующая усеченного конуса: $L = l = 5 \text{ см}$.

Площадь поверхности усеченного конуса (тела вращения) состоит из суммы площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Формула для полной площади поверхности усеченного конуса: $S = \pi R_1^2 + \pi R_2^2 + \pi (R_1 + R_2) L$.

Подставим найденные значения в формулу:

$S = \pi (2 \text{ см})^2 + \pi (5 \text{ см})^2 + \pi (2 \text{ см} + 5 \text{ см}) (5 \text{ см})$

$S = 4\pi \text{ см}^2 + 25\pi \text{ см}^2 + \pi (7 \text{ см}) (5 \text{ см})$

$S = 4\pi \text{ см}^2 + 25\pi \text{ см}^2 + 35\pi \text{ см}^2$

Сложим все члены с $\pi$:

$S = (4 + 25 + 35)\pi \text{ см}^2$

$S = 64\pi \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь поверхности тела вращения составляет $64\pi \text{ см}^2$.

371. Образующая усеченного конуса равна 6 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности этого усеченного конуса, если диаметр его верхнего основания равен 10 см.

Дано:

Образующая усеченного конуса $L = 6 \text{ см}$

Угол образующей с плоскостью нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Диаметр верхнего основания $D_1 = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$L = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$D_1 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$, где $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности, $S_{осн1}$ - площадь верхнего основания, $S_{осн2}$ - площадь нижнего основания.

1. Вычислим радиус верхнего основания $R_1$:

$R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

2. Вычислим радиус нижнего основания $R_2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $L$, высотой усеченного конуса $h$ и отрезком $(R_2 - R_1)$ на нижнем основании. Угол между образующей и нижним основанием равен $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{R_2 - R_1}{L}$

Отсюда выразим $R_2 - R_1 = L \cos \alpha$

Следовательно, $R_2 = R_1 + L \cos \alpha$

Подставим известные значения: $R_2 = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = 0.5$, то

$R_2 = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} \cdot 0.5 = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см}$

3. Вычислим площади оснований:

Площадь верхнего основания: $S_{осн1} = \pi R_1^2 = \pi (5 \text{ см})^2 = 25\pi \text{ см}^2$

Площадь нижнего основания: $S_{осн2} = \pi R_2^2 = \pi (8 \text{ см})^2 = 64\pi \text{ см}^2$

4. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) L = \pi (5 \text{ см} + 8 \text{ см}) \cdot 6 \text{ см} = \pi (13 \text{ см}) \cdot 6 \text{ см} = 78\pi \text{ см}^2$

5. Вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

$S_{полн} = 78\pi \text{ см}^2 + 25\pi \text{ см}^2 + 64\pi \text{ см}^2 = (78 + 25 + 64)\pi \text{ см}^2 = 167\pi \text{ см}^2$

Для перевода результата в систему СИ:

$S_{полн} = 167\pi \text{ см}^2 = 167\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 167\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь полной поверхности усеченного конуса составляет $167\pi \text{ см}^2$ или $167\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

372. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если площади его оснований равны $4\pi \text{ см}^2$ и $100\pi \text{ см}^2$, а площадь осевого сечения – $180 \text{ см}^2$.

Дано:

Площадь меньшего основания усеченного конуса $S_1 = 4\pi \text{ см}^2$.

Площадь большего основания усеченного конуса $S_2 = 100\pi \text{ см}^2$.

Площадь осевого сечения усеченного конуса $S_{\text{осн}} = 180 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_1 = 4\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 4\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

$S_2 = 100\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = \pi \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.

$S_{\text{осн}} = 180 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 180 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 1.8 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{\text{полн}}$.

Решение:

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы меньшего и большего оснований усеченного конуса соответственно, $H$ — его высота, $L$ — образующая.

Площади оснований конуса связаны с их радиусами формулами: $S_1 = \pi R_1^2$ и $S_2 = \pi R_2^2$.

Из площади меньшего основания найдем $R_1$:

$\pi R_1^2 = 4\pi$

$R_1^2 = 4$

$R_1 = 2 \text{ см}$.

Из площади большего основания найдем $R_2$:

$\pi R_2^2 = 100\pi$

$R_2^2 = 100$

$R_2 = 10 \text{ см}$.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобочную трапецию, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R_1$ и $2R_2$), а высота равна высоте конуса $H$. Площадь осевого сечения вычисляется по формуле:

$S_{\text{осн}} = \frac{(2R_1 + 2R_2)H}{2} = (R_1 + R_2)H$.

Подставим известные значения $R_1$, $R_2$ и $S_{\text{осн}}$:

$(2 + 10)H = 180$

$12H = 180$

$H = \frac{180}{12} = 15 \text{ см}$.

Для нахождения площади боковой поверхности нам нужна образующая $L$. Образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов $(R_2 - R_1)$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_2 - R_1)^2$

$L^2 = 15^2 + (10 - 2)^2$

$L^2 = 225 + 8^2$

$L^2 = 225 + 64$

$L^2 = 289$

$L = \sqrt{289} = 17 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{\text{бок}}$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2)L$.

Подставим значения $R_1$, $R_2$ и $L$:

$S_{\text{бок}} = \pi (2 + 10) \cdot 17$

$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 12 \cdot 17$

$S_{\text{бок}} = 204\pi \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности усеченного конуса $S_{\text{полн}}$ равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{\text{полн}} = S_1 + S_2 + S_{\text{бок}}$

$S_{\text{полн}} = 4\pi + 100\pi + 204\pi$

$S_{\text{полн}} = (4 + 100 + 204)\pi$

$S_{\text{полн}} = 308\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $308\pi \text{ см}^2$.

373. Образующая усеченного конуса равна 10 см, высота – 8 см, а площадь боковой поверхности – $140\pi \text{ см}^2$. Найдите радиусы его оснований.

Дано:

Образующая усеченного конуса $L = 10 \text{ см}$

Высота усеченного конуса $H = 8 \text{ см}$

Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 140\pi \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$S_{\text{бок}} = 140\pi \text{ см}^2 = 140\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 140\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Радиусы оснований $R_1$ и $R_2$

Решение:

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R_1$ (больший радиус) и $R_2$ (меньший радиус). Для усеченного конуса существует соотношение между образующей $L$, высотой $H$ и разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$, которое вытекает из теоремы Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$10^2 = 8^2 + (R_1 - R_2)^2$

$100 = 64 + (R_1 - R_2)^2$

Выразим $(R_1 - R_2)^2$:

$(R_1 - R_2)^2 = 100 - 64$

$(R_1 - R_2)^2 = 36$

Извлечем квадратный корень, учитывая, что радиус всегда положительный, и $R_1 > R_2$:

$R_1 - R_2 = \sqrt{36}$

$R_1 - R_2 = 6 \text{ см}$ (Уравнение 1)

Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса $S_{\text{бок}}$:

$S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) L$

Подставим известные значения $S_{\text{бок}}$ и $L$:

$140\pi = \pi (R_1 + R_2) \cdot 10$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$140 = (R_1 + R_2) \cdot 10$

Разделим обе части уравнения на 10:

$R_1 + R_2 = 14 \text{ см}$ (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R_1$ и $R_2$:

1) $R_1 - R_2 = 6$

2) $R_1 + R_2 = 14$

Сложим Уравнение 1 и Уравнение 2:

$(R_1 - R_2) + (R_1 + R_2) = 6 + 14$

$2R_1 = 20$

$R_1 = \frac{20}{2}$

$R_1 = 10 \text{ см}$

Подставим найденное значение $R_1 = 10 \text{ см}$ в Уравнение 2:

$10 + R_2 = 14$

$R_2 = 14 - 10$

$R_2 = 4 \text{ см}$

Ответ: Радиусы оснований усеченного конуса равны 10 см и 4 см.

374. a) Найдите с точностью до $1 \text{ см}^2$ площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого относятся как 1 : 2, высота равна 8 см, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$.

б) Сколько квадратных сантиметров материала нужно для изготовления рупора в виде усеченного конуса, образующая которого равна 2 дм, а радиусы оснований 2 см и 4 см? Ответ дайте с точностью до $1 \text{ см}^2$.

a)

Дано:

Усеченный конус.

Отношение радиусов оснований: $r_1 : r_2 = 1 : 2$

Высота: $h = 8$ см

Угол наклона образующей к плоскости основания: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ (с точностью до $1 \text{ см}^2$).

Решение:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L$, где $L$ - образующая, $r_1$ и $r_2$ - радиусы оснований.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $L$ и отрезком, равным разности радиусов оснований $(r_2 - r_1)$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha = 45^\circ$.

Из этого треугольника: $\tan(\alpha) = \frac{h}{r_2 - r_1}$

Подставим известные значения: $\tan(45^\circ) = \frac{8}{r_2 - r_1}$.

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем: $1 = \frac{8}{r_2 - r_1} \Rightarrow r_2 - r_1 = 8$ см.

Дано, что радиусы относятся как $1:2$, то есть $r_2 = 2r_1$.

Подставим $r_2$ в уравнение: $2r_1 - r_1 = 8 \Rightarrow r_1 = 8$ см.

Тогда $r_2 = 2 \times 8 = 16$ см.

Теперь найдем образующую $L$ из того же прямоугольного треугольника:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

$\sin(45^\circ) = \frac{8}{L}$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8}{L}$.

$L = \frac{8 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L = \pi (8 + 16) (8\sqrt{2}) = \pi (24) (8\sqrt{2}) = 192\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Приближенное значение:

$S_{бок} \approx 192 \times 1.41421356 \times 3.14159265 \approx 854.893$ см$^2$.

Округляем до $1 \text{ см}^2$: $S_{бок} \approx 855$ см$^2$.

Ответ: $855 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Рупор в виде усеченного конуса.

Образующая: $L = 2$ дм

Радиусы оснований: $r_1 = 2$ см, $r_2 = 4$ см

Перевод в СИ:

$L = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$r_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$r_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь материала для изготовления рупора $S_{бок}$ (с точностью до $1 \text{ см}^2$).

Решение:

Материал для изготовления рупора представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L$.

Переведем образующую в сантиметры для удобства вычислений:

$L = 2 \text{ дм} = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Подставим значения радиусов и образующей в формулу:

$S_{бок} = \pi (2 \text{ см} + 4 \text{ см}) (20 \text{ см})$

$S_{бок} = \pi (6) (20) = 120\pi$ см$^2$.

Приближенное значение:

$S_{бок} \approx 120 \times 3.14159265 \approx 376.991$ см$^2$.

Округляем до $1 \text{ см}^2$: $S_{бок} \approx 377$ см$^2$.

Ответ: $377 \text{ см}^2$

375. Существует ли усеченный конус, площадь боковой поверхности которого равна сумме площадей его оснований?

Дано:

Радиусы оснований усеченного конуса: $R$ (больший радиус), $r$ (меньший радиус), где $R > r > 0$.

Образующая усеченного конуса: $L$.

Условие: Площадь боковой поверхности усеченного конуса $A_{бок}$ равна сумме площадей его оснований $A_{осн1} + A_{осн2}$.

Найти:

Существует ли такой усеченный конус?

Решение

1. Запишем формулы для площадей:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса выражается как: $A_{бок} = \pi (R + r) L$.

Площадь большего основания: $A_{осн1} = \pi R^2$.

Площадь меньшего основания: $A_{осн2} = \pi r^2$.

2. Согласно условию задачи, $A_{бок} = A_{осн1} + A_{осн2}$. Подставим в это уравнение формулы площадей:

$\pi (R + r) L = \pi R^2 + \pi r^2$

3. Разделим обе части уравнения на $\pi$ (поскольку $\pi \neq 0$):

$(R + r) L = R^2 + r^2$

4. Выразим образующую $L$ из этого равенства:

$L = \frac{R^2 + r^2}{R + r}$

5. Для того чтобы усеченный конус существовал, его образующая $L$ должна удовлетворять геометрическому условию: образующая должна быть строго больше разности радиусов оснований. Это следует из того, что образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченного конуса и разность радиусов ($R-r$). Следовательно, образующая всегда больше каждого из катетов. То есть, должно выполняться неравенство: $L > R - r$.

6. Подставим полученное выражение для $L$ в это неравенство:

$\frac{R^2 + r^2}{R + r} > R - r$

7. Умножим обе части неравенства на $(R + r)$. Так как $R > r > 0$, то $R + r$ всегда положительно, и знак неравенства не меняется:

$R^2 + r^2 > (R - r)(R + r)$

8. Применим формулу разности квадратов $(R - r)(R + r) = R^2 - r^2$:

$R^2 + r^2 > R^2 - r^2$

9. Вычтем $R^2$ из обеих частей неравенства:

$r^2 > -r^2$

10. Прибавим $r^2$ к обеим частям неравенства:

$2r^2 > 0$

11. Поскольку $r$ является радиусом, по определению $r > 0$. Следовательно, $r^2 > 0$, и произведение $2r^2$ всегда будет строго положительным числом. Таким образом, неравенство $2r^2 > 0$ всегда выполняется для любых положительных радиусов $r$.

Это означает, что для любых допустимых значений радиусов $R$ и $r$ ($R > r > 0$) всегда найдется положительная образующая $L = \frac{R^2 + r^2}{R + r}$, которая удовлетворяет всем геометрическим условиям существования усеченного конуса.

Ответ: Да.

уровень В

376. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны, а образующая, равная 12 см, наклонена к плоскости нижнего основания под углом $60^\circ$.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 12$ см.

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания $\alpha = 60^\circ$.

Диагонали осевого сечения перпендикулярны.

Перевод в СИ:

$l = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$.

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию ABCD. Пусть AB - верхнее основание (диаметр верхнего основания $2r$), CD - нижнее основание (диаметр нижнего основания $2R$). Боковые стороны AD и BC являются образующими конуса, $AD = BC = l$.

Опустим высоту AE из вершины A на нижнее основание CD. Пусть $h$ - высота усеченного конуса, то есть $h = AE$.

В прямоугольном треугольнике ADE:

$AE = AD \sin \alpha \Rightarrow h = l \sin \alpha$

$DE = AD \cos \alpha \Rightarrow DE = l \cos \alpha$

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то $DE = \frac{CD - AB}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

Следовательно, мы имеем уравнение: $R - r = l \cos \alpha$.

По условию, диагонали осевого сечения перпендикулярны. Для равнобедренной трапеции, если ее диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме ее оснований. В данном случае:

$h = \frac{AB + CD}{2} = \frac{2r + 2R}{2} = r + R$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$1)\ R + r = h$

$2)\ R - r = l \cos \alpha$

Подставим $h = l \sin \alpha$ в первое уравнение:

$R + r = l \sin \alpha$

Теперь решим систему:

$R + r = l \sin \alpha$

$R - r = l \cos \alpha$

Сложим оба уравнения:

$(R + r) + (R - r) = l \sin \alpha + l \cos \alpha$

$2R = l (\sin \alpha + \cos \alpha)$

$R = \frac{l}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(R + r) - (R - r) = l \sin \alpha - l \cos \alpha$

$2r = l (\sin \alpha - \cos \alpha)$

$r = \frac{l}{2} (\sin \alpha - \cos \alpha)$

Подставим известные значения $l = 12$ см и $\alpha = 60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

Найдем $R$ и $r$:

$R = \frac{12}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) = 6 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = 3(\sqrt{3} + 1)$ см

$r = \frac{12}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) = 6 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) = 3(\sqrt{3} - 1)$ см

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу:

$S_{бок} = \pi (R + r) l$

Найдем сумму радиусов $R + r$:

$R + r = 3(\sqrt{3} + 1) + 3(\sqrt{3} - 1) = 3\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} - 3 = 6\sqrt{3}$ см

(Это также равно $h = l \sin \alpha = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см, что подтверждает наши расчеты)

Теперь подставим значения в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = \pi (6\sqrt{3}) (12)$

$S_{бок} = 72\sqrt{3}\pi$ см$^2$

Ответ:

$72\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$

377. Через две образующие усеченного конуса, угол между которыми $60^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основания конуса по хордам, равным 6 см и 4 см. Каждая из этих хорд стягивает дугу $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этого усеченного конуса.

Дано:

Усеченный конус. Плоскость проходит через две образующие. Угол между образующими, через которые проходит плоскость: $\alpha = 60^\circ$. Длина хорды на большем основании: $c_1 = 6$ см. Длина хорды на меньшем основании: $c_2 = 4$ см. Каждая хорда стягивает дугу $90^\circ$.

Перевод в СИ:

$c_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$c_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$.

Решение:

1. Найдем радиусы оснований усеченного конуса. Каждая хорда стягивает дугу в $90^\circ$. Это означает, что центральный угол, соответствующий этой хорде, равен $90^\circ$. Длина хорды в круге связана с радиусом $R$ и центральным углом $\theta$ формулой $c = 2R \sin(\frac{\theta}{2})$. Для хорды большего основания $c_1$: $6 = 2R_1 \sin(\frac{90^\circ}{2})$
$6 = 2R_1 \sin(45^\circ)$
$6 = 2R_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$
$6 = R_1\sqrt{2}$
$R_1 = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см. Для хорды меньшего основания $c_2$: $4 = 2R_2 \sin(\frac{90^\circ}{2})$
$4 = 2R_2 \sin(45^\circ)$
$4 = 2R_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$
$4 = R_2\sqrt{2}$
$R_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Найдем длину образующей $l$ усеченного конуса. Плоскость, проходящая через две образующие усеченного конуса и пересекающая основания по хордам $c_1$ и $c_2$, образует равнобедренную трапецию. Боковыми сторонами этой трапеции являются образующие конуса, а основаниями - хорды. Пусть образующие, через которые проходит плоскость, имеют длину $l$. Угол между образующими $60^\circ$ означает, что если эти образующие продолжить до вершины полного конуса, из которого образован усеченный конус, то угол при вершине полученного равнобедренного треугольника будет $60^\circ$. Пусть $P$ - вершина полного конуса. Пусть $A_1B_1$ - хорда на большем основании, $A_2B_2$ - на меньшем. Тогда $\triangle PA_1B_1$ и $\triangle PA_2B_2$ являются равнобедренными с углом $60^\circ$ при вершине $P$. Следовательно, эти треугольники являются равносторонними. Из равностороннего треугольника $\triangle PA_1B_1$: $PA_1 = PB_1 = A_1B_1 = c_1 = 6$ см. Из равностороннего треугольника $\triangle PA_2B_2$: $PA_2 = PB_2 = A_2B_2 = c_2 = 4$ см. Длина образующей усеченного конуса $l$ равна разности длин образующих полного конуса: $l = PA_1 - PA_2 = 6 - 4 = 2$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса. Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l$. Подставим найденные значения $R_1$, $R_2$ и $l$: $S_{бок} = \pi (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \cdot 2$
$S_{бок} = \pi (5\sqrt{2}) \cdot 2$
$S_{бок} = 10\sqrt{2}\pi$ Единицы измерения: радиусы и образующая в сантиметрах, поэтому площадь будет в квадратных сантиметрах.

Ответ:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса составляет $10\sqrt{2}\pi \text{ см}^2$.