Номер 377, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

377. Через две образующие усеченного конуса, угол между которыми $60^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основания конуса по хордам, равным 6 см и 4 см. Каждая из этих хорд стягивает дугу $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этого усеченного конуса.

Дано:

Усеченный конус. Плоскость проходит через две образующие. Угол между образующими, через которые проходит плоскость: $\alpha = 60^\circ$. Длина хорды на большем основании: $c_1 = 6$ см. Длина хорды на меньшем основании: $c_2 = 4$ см. Каждая хорда стягивает дугу $90^\circ$.

Перевод в СИ:

$c_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$c_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$.

Решение:

1. Найдем радиусы оснований усеченного конуса. Каждая хорда стягивает дугу в $90^\circ$. Это означает, что центральный угол, соответствующий этой хорде, равен $90^\circ$. Длина хорды в круге связана с радиусом $R$ и центральным углом $\theta$ формулой $c = 2R \sin(\frac{\theta}{2})$. Для хорды большего основания $c_1$: $6 = 2R_1 \sin(\frac{90^\circ}{2})$
$6 = 2R_1 \sin(45^\circ)$
$6 = 2R_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$
$6 = R_1\sqrt{2}$
$R_1 = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см. Для хорды меньшего основания $c_2$: $4 = 2R_2 \sin(\frac{90^\circ}{2})$
$4 = 2R_2 \sin(45^\circ)$
$4 = 2R_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$
$4 = R_2\sqrt{2}$
$R_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Найдем длину образующей $l$ усеченного конуса. Плоскость, проходящая через две образующие усеченного конуса и пересекающая основания по хордам $c_1$ и $c_2$, образует равнобедренную трапецию. Боковыми сторонами этой трапеции являются образующие конуса, а основаниями - хорды. Пусть образующие, через которые проходит плоскость, имеют длину $l$. Угол между образующими $60^\circ$ означает, что если эти образующие продолжить до вершины полного конуса, из которого образован усеченный конус, то угол при вершине полученного равнобедренного треугольника будет $60^\circ$. Пусть $P$ - вершина полного конуса. Пусть $A_1B_1$ - хорда на большем основании, $A_2B_2$ - на меньшем. Тогда $\triangle PA_1B_1$ и $\triangle PA_2B_2$ являются равнобедренными с углом $60^\circ$ при вершине $P$. Следовательно, эти треугольники являются равносторонними. Из равностороннего треугольника $\triangle PA_1B_1$: $PA_1 = PB_1 = A_1B_1 = c_1 = 6$ см. Из равностороннего треугольника $\triangle PA_2B_2$: $PA_2 = PB_2 = A_2B_2 = c_2 = 4$ см. Длина образующей усеченного конуса $l$ равна разности длин образующих полного конуса: $l = PA_1 - PA_2 = 6 - 4 = 2$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса. Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l$. Подставим найденные значения $R_1$, $R_2$ и $l$: $S_{бок} = \pi (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \cdot 2$
$S_{бок} = \pi (5\sqrt{2}) \cdot 2$
$S_{бок} = 10\sqrt{2}\pi$ Единицы измерения: радиусы и образующая в сантиметрах, поэтому площадь будет в квадратных сантиметрах.

Ответ:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса составляет $10\sqrt{2}\pi \text{ см}^2$.