Вопросы?, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Дайте определение: а) сферы; б) шара.

2. Что является сечением: а) сферы плоскостью; б) шара плоскостью?

3. Какая плоскость называется плоскостью, касательной к сфере?

4. Какие свойства плоскости, касательной к сфере, вы знаете?

5. Пусть $R$ – радиус сферы, $d$ – расстояние от ее центра до плоскости. Объясните, почему плоскость: а) пересекает сферу, если $d < R$; б) касается ее, если $d = R$; в) не имеет с ней общих точек, если $d > R$.

а) Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром. Это заданное расстояние называется радиусом сферы.

Ответ: Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от центра.

б) Шар — это пространственное тело, ограниченное сферой. Он включает в себя все точки пространства, расстояние которых от центра не превышает радиус.

Ответ: Шар — это тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от центра.

а) Сечением сферы плоскостью является окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то такая окружность называется большой окружностью. Если плоскость имеет со сферой только одну общую точку, то сечением является точка (окружность с радиусом, равным нулю).

Ответ: Окружность или точка.

б) Сечением шара плоскостью является круг. Если плоскость проходит через центр шара, то такой круг называется большим кругом. Если плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то сечением является точка.

Ответ: Круг или точка.

Плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Эта общая точка называется точкой касания.

Ответ: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

Существует несколько ключевых свойств плоскости, касательной к сфере:
1. Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
2. Следствие из первого свойства: расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы.
3. Обратная теорема: если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.

Ответ: Основное свойство — радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — ее радиус, а $\alpha$ — плоскость. Расстояние $d$ от центра $O$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Для любой точки $M$ на плоскости $\alpha$ расстояние $OM$ от центра сферы до этой точки является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $OHM$. По теореме Пифагора, $OM^2 = OH^2 + HM^2$, или $OM^2 = d^2 + HM^2$. Точка $M$ лежит на сфере, если $OM = R$.

а) если $d < R$, то $d^2 < R^2$. Условие нахождения точки $M$ на сфере, $R^2 = d^2 + HM^2$, можно переписать как $HM^2 = R^2 - d^2$. Поскольку правая часть положительна, уравнение имеет решение $HM = \sqrt{R^2 - d^2}$. Это означает, что на плоскости $\alpha$ существуют точки, удаленные от точки $H$ на расстояние $\sqrt{R^2 - d^2}$. Множество таких точек образует окружность, которая и является линией пересечения плоскости и сферы.

Ответ: Если $d < R$, то на плоскости существует окружность, все точки которой находятся на расстоянии $R$ от центра сферы, следовательно, плоскость пересекает сферу.

б) если $d = R$, то $d^2 = R^2$. Уравнение $R^2 = d^2 + HM^2$ принимает вид $R^2 = R^2 + HM^2$, что влечет за собой $HM^2 = 0$, и, следовательно, $HM = 0$. Это означает, что точка $M$ совпадает с точкой $H$. Таким образом, плоскость и сфера имеют только одну общую точку $H$. По определению, такая плоскость является касательной к сфере.

Ответ: Если $d = R$, то единственная точка плоскости (основание перпендикуляра из центра) находится на расстоянии $R$ от центра, что означает касание.

в) если $d > R$, то $d^2 > R^2$. Для любой точки $M$ на плоскости имеем $OM^2 = d^2 + HM^2$. Так как $d^2 > R^2$ и $HM^2 \ge 0$, то $OM^2 > R^2$, откуда $OM > R$. Это означает, что расстояние от центра сферы до любой точки плоскости строго больше радиуса. Следовательно, ни одна точка плоскости не может принадлежать сфере, и у них нет общих точек.

Ответ: Если $d > R$, расстояние от любой точки плоскости до центра сферы всегда будет больше $R$, поэтому общих точек у плоскости и сферы нет.