Номер 389, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

389. Составьте уравнение сферы радиуса 3 с центром в точке $A(2; -4; 7)$ и определите:

а) пересекает ли она координатные плоскости;

б) наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$.

Дано

центр сферы $A(a; b; c) = (2; -4; 7)$

радиус сферы $R = 3$

Найти:

уравнение сферы

а) пересекает ли сфера координатные плоскости

б) наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$

Решение

Общее уравнение сферы с центром в точке $(a, b, c)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

Подставим координаты центра $A(2; -4; 7)$ и радиус $R=3$ в это уравнение:

$(x-2)^2 + (y-(-4))^2 + (z-7)^2 = 3^2$

$(x-2)^2 + (y+4)^2 + (z-7)^2 = 9$

а) пересекает ли она координатные плоскости;

Сфера пересекает координатную плоскость, если расстояние от центра сферы до этой плоскости меньше или равно радиусу сферы. Расстояние от точки $(a, b, c)$ до плоскости $x=0$ (плоскость $yOz$) равно $|a|$, до плоскости $y=0$ (плоскость $xOz$) равно $|b|$, и до плоскости $z=0$ (плоскость $xOy$) равно $|c|$.

Радиус сферы $R=3$. Координаты центра $A(2; -4; 7)$.

1. Для плоскости $yOz$ ($x=0$):

Расстояние $d_x = |2| = 2$.

Сравниваем: $d_x = 2 < R = 3$. Так как $2 < 3$, сфера пересекает плоскость $yOz$.

2. Для плоскости $xOz$ ($y=0$):

Расстояние $d_y = |-4| = 4$.

Сравниваем: $d_y = 4 > R = 3$. Так как $4 > 3$, сфера не пересекает плоскость $xOz$.

3. Для плоскости $xOy$ ($z=0$):

Расстояние $d_z = |7| = 7$.

Сравниваем: $d_z = 7 > R = 3$. Так как $7 > 3$, сфера не пересекает плоскость $xOy$.

Ответ:

Сфера пересекает координатную плоскость $yOz$.

Сфера не пересекает координатные плоскости $xOz$ и $xOy$.

б) наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$.

Плоскость $xOy$ задается уравнением $z=0$.

Расстояние от центра сферы $A(2; -4; 7)$ до плоскости $xOy$ равно абсолютной величине $z$-координаты центра, то есть $d = |7| = 7$.

Радиус сферы $R = 3$.

Поскольку расстояние от центра до плоскости ($d=7$) больше радиуса сферы ($R=3$), сфера не пересекает плоскость $xOy$. В этом случае наименьшее расстояние от любой точки сферы до плоскости определяется как разность между расстоянием от центра сферы до плоскости и радиусом сферы.

$d_{min} = d - R = 7 - 3 = 4$.

Ответ:

Наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$ равно $4$.