Номер 393, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

393. Расстояния от концов диаметра шара до касающейся его плоскости равны 6 см и 4 см. Найдите радиус шара.

Дано:

Расстояние от одного конца диаметра шара до касающейся плоскости: $h_1 = 6 \text{ см}$

Расстояние от другого конца диаметра шара до касающейся плоскости: $h_2 = 4 \text{ см}$

Найти:

Радиус шара: $R$

Решение

Пусть $P$ — касающаяся плоскость, $T$ — точка касания шара с плоскостью $P$, и $O$ — центр шара.Радиус $OT$ перпендикулярен плоскости $P$, и его длина равна радиусу шара $R$.

Рассмотрим декартову систему координат, в которой плоскость $P$ совпадает с плоскостью $z=0$. Тогда точка касания $T$ может быть принята за начало координат $(0,0,0)$, а центр шара $O$ будет иметь координаты $(0,0,R)$.

Пусть $A$ и $B$ — концы диаметра шара. Поскольку вся сфера находится по одну сторону от касательной плоскости, то координаты $z$ для точек $A$ и $B$ будут положительными.Расстояние от точки до плоскости $z=0$ равно абсолютной величине её $z$-координаты.По условию, расстояния от $A$ и $B$ до плоскости $P$ равны $h_1 = 6 \text{ см}$ и $h_2 = 4 \text{ см}$.Следовательно, $z_A = 6$ и $z_B = 4$.

Так как $A$ и $B$ являются концами диаметра, центр шара $O$ является серединой отрезка $AB$.Если координаты $A$ равны $(x_A, y_A, z_A)$, а координаты $B$ равны $(x_B, y_B, z_B)$, то координаты центра $O$ определяются как:$O = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Мы знаем, что $O = (0,0,R)$. Сравнивая $z$-координаты, получаем:$$ \frac{z_A+z_B}{2} = R $$

Подставляя известные значения $z_A=6 \text{ см}$ и $z_B=4 \text{ см}$:$$ \frac{6+4}{2} = R $$$$ \frac{10}{2} = R $$$$ R = 5 \text{ см} $$

Данный подход верен, поскольку линии, по которым измеряются расстояния от концов диаметра до касательной плоскости, параллельны радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, проекция диаметра на ось, проходящую через центр шара перпендикулярно касательной плоскости, равна сумме расстояний от концов диаметра до этой плоскости.

Ответ:

Радиус шара равен $5 \text{ см}$.