Номер 394, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

394. Два шара, радиусы которых равны 16 см и 9 см, касаются в точке $C$ и имеют общую касательную $AB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Общая касательная $CM$ этих шаров пересекает прямую $AB$ в точке $M$ (рисунок 149). Найдите расстояние $CM$.

Рисунок 149

Дано:

Радиус первого шара (большего): $R_1 = 16 \text{ см}$

Радиус второго шара (меньшего): $R_2 = 9 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$R_2 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $CM$.

Решение:

Обозначим центры двух окружностей (шаров) как O (для большего радиуса $R_1$) и K (для меньшего радиуса $R_2$).

Определение длины общей внешней касательной AB:

Построим отрезок $KD$ параллельно $AB$, где точка $D$ лежит на радиусе $OA$. Поскольку $OA \perp AB$ и $KB \perp AB$, фигура $ADKB$ является прямоугольником. Тогда $AD = KB = R_2$, и $DK = AB$.

В прямоугольном треугольнике $ODK$ (где $OD = OA - AD = R_1 - R_2$) гипотенуза $OK$ является расстоянием между центрами окружностей. Так как окружности касаются внешним образом в точке $C$, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $OK = R_1 + R_2$.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику $ODK$:

$OK^2 = OD^2 + DK^2$

$(R_1 + R_2)^2 = (R_1 - R_2)^2 + AB^2$

Выразим $AB^2$:

$AB^2 = (R_1 + R_2)^2 - (R_1 - R_2)^2$

Используем формулу разности квадратов: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

$AB^2 = 4R_1R_2$

$AB = \sqrt{4R_1R_2} = 2\sqrt{R_1R_2}$

Подставим заданные значения радиусов $R_1 = 16 \text{ см}$ и $R_2 = 9 \text{ см}$:

$AB = 2\sqrt{16 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}} = 2\sqrt{144 \text{ см}^2} = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Свойства касательных из точки M:

Точка $M$ является точкой пересечения общей внешней касательной $AB$ и общей внутренней касательной $CM$.

Известно, что длины касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Для большей окружности (с центром O): $MA$ и $MC$ являются касательными, проведенными из точки $M$. Следовательно, $MA = MC$.

Для меньшей окружности (с центром K): $MB$ и $MC$ являются касательными, проведенными из точки $M$. Следовательно, $MB = MC$.

Из этих двух равенств следует, что $MA = MB = MC$.

Вычисление расстояния CM:

Так как $M$ лежит на отрезке $AB$ и $MA = MB$, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Поскольку $MA = MB = MC$, и $AB = MA + MB$, то $AB = 2 \cdot MC$.

Отсюда:

$CM = \frac{AB}{2}$

Подставим ранее найденное значение $AB = 24 \text{ см}$:

$CM = \frac{24 \text{ см}}{2} = 12 \text{ см}$.

Ответ: $12 \text{ см}$.