Номер 395, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

395. Шар радиуса $3 \text{ см}$ касается двух параллельных плоскостей в точках A и B. Через середину отрезка AB проведена прямая, составляющая с прямой AB угол $60^\circ$. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между данными плоскостями.

Дано:

Радиус шара: $R = 3$ см

Точки касания шара с параллельными плоскостями: $A$, $B$

Прямая $L$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$.

Угол между прямой $L$ и прямой $AB$: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Длина отрезка прямой $L$, заключенного между плоскостями: $XY$

Решение:

1. Поскольку шар радиуса $R$ касается двух параллельных плоскостей в точках $A$ и $B$, то отрезок $AB$ является диаметром шара и перпендикулярен обеим плоскостям. Следовательно, длина отрезка $AB$ равна диаметру шара: $AB = 2R$. Подставляя значение радиуса, получаем $AB = 2 \times 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Эта длина $AB$ также является расстоянием между двумя параллельными плоскостями.

2. Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Поскольку $AB$ перпендикулярен плоскостям, точка $M$ равноудалена от обеих плоскостей. Расстояние от $M$ до каждой плоскости равно $R = 3$ см.

3. Прямая $L$ проходит через $M$. Пусть $X$ - точка пересечения прямой $L$ с первой плоскостью, а $Y$ - точка пересечения прямой $L$ со второй плоскостью. Нам нужно найти длину отрезка $XY$. Так как $M$ является серединой отрезка $AB$ (который перпендикулярен плоскостям) и прямая $L$ проходит через $M$, то $M$ является серединой отрезка $XY$. Это означает, что $XM = MY$, и $XY = 2 \cdot XM$.

4. Прямая $AB$ является нормалью к обеим плоскостям. Угол между прямой $L$ и прямой $AB$ равен $\alpha = 60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $XM$, проекцией этого отрезка на прямую $AB$ (которая равна расстоянию от $M$ до плоскости, т.е. $R$), и перпендикуляром от $X$ к прямой $AB$. В этом треугольнике $XM$ является гипотенузой, а $R$ - катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

5. Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике имеем: $R = XM \cdot \cos \alpha$.

6. Подставим известные значения: $3 \text{ см} = XM \cdot \cos 60^\circ$.

7. Известно, что $\cos 60^\circ = 1/2$. Тогда $3 = XM \cdot (1/2)$.

8. Отсюда $XM = 3 / (1/2) = 3 \times 2 = 6$ см.

9. Длина искомого отрезка $XY$ равна $2 \cdot XM$, так как $M$ - середина $XY$. Следовательно, $XY = 2 \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ:

$12 \text{ см}$