Номер 397, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

397. Даны три попарно касающихся шара, расстояния между центрами которых равны 8 см, 9 см, 10 см. Найдите диаметры этих шаров.

Дано:

Три попарно касающихся шара.

Расстояние между центрами первого и второго шара: $L_{12} = 8 \text{ см}$

Расстояние между центрами первого и третьего шара: $L_{13} = 9 \text{ см}$

Расстояние между центрами второго и третьего шара: $L_{23} = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$L_{12} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$L_{13} = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$L_{23} = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:

Диаметры шаров $D_1, D_2, D_3$.

Решение:

Пусть радиусы трех шаров равны $R_1, R_2, R_3$ соответственно. Поскольку шары попарно касаются, расстояние между центрами двух касающихся шаров равно сумме их радиусов.

Таким образом, мы можем составить систему линейных уравнений, используя данные расстояния:

$R_1 + R_2 = L_{12}$

$R_1 + R_3 = L_{13}$

$R_2 + R_3 = L_{23}$

Подставим численные значения. Для удобства расчетов будем использовать значения в сантиметрах, так как искомые диаметры также требуются в сантиметрах:

$R_1 + R_2 = 8 \quad (1)$

$R_1 + R_3 = 9 \quad (2)$

$R_2 + R_3 = 10 \quad (3)$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы исключить $R_1$:

$(R_1 + R_3) - (R_1 + R_2) = 9 - 8$

$R_3 - R_2 = 1 \quad (4)$

Теперь сложим уравнение (3) и уравнение (4), чтобы исключить $R_2$ и найти $R_3$:

$(R_2 + R_3) + (R_3 - R_2) = 10 + 1$

$2R_3 = 11$

$R_3 = \frac{11}{2}$

$R_3 = 5.5 \text{ см}$

Подставим найденное значение $R_3$ в уравнение (2) для нахождения $R_1$:

$R_1 + 5.5 = 9$

$R_1 = 9 - 5.5$

$R_1 = 3.5 \text{ см}$

Подставим найденное значение $R_1$ в уравнение (1) для нахождения $R_2$:

$3.5 + R_2 = 8$

$R_2 = 8 - 3.5$

$R_2 = 4.5 \text{ см}$

Для проверки правильности радиусов подставим найденные значения $R_2$ и $R_3$ в уравнение (3):

$R_2 + R_3 = 4.5 + 5.5 = 10 \text{ см}$, что соответствует заданному расстоянию $L_{23}$.

Диаметр шара равен удвоенному радиусу ($D = 2R$). Найдем диаметры каждого шара:

$D_1 = 2R_1 = 2 \times 3.5 = 7 \text{ см}$

$D_2 = 2R_2 = 2 \times 4.5 = 9 \text{ см}$

$D_3 = 2R_3 = 2 \times 5.5 = 11 \text{ см}$

Ответ:

Диаметры шаров равны $7 \text{ см}$, $9 \text{ см}$ и $11 \text{ см}$.