Номер 404, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

404. Сфера касается сторон треугольника $ABC$. Найдите радиус сферы, если ее центр лежит в плоскости этого треугольника, $AB = BC = 15 \text{ см}$, $AC = 24 \text{ см}$.

Дано:

Сфера касается сторон треугольника $ABC$.

Центр сферы лежит в плоскости треугольника $ABC$.

$AB = 15 \text{ см}$

$BC = 15 \text{ см}$

$AC = 24 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$AB = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$BC = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$AC = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Поскольку центр сферы лежит в плоскости треугольника $ABC$ и сфера касается всех сторон этого треугольника, радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 15 \text{ см}$.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}$.

В системе СИ: $p = 0.27 \text{ м}$.

2. Вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$. Для этого найдем высоту $h$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Пусть $H$ - середина $AC$. Тогда $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$h^2 + 12^2 = 15^2$

$h^2 + 144 = 225$

$h^2 = 225 - 144 = 81$

$h = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$.

В системе СИ: $h = 0.09 \text{ м}$.

Теперь найдем площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108 \text{ см}^2$.

В системе СИ: $S = \frac{1}{2} \cdot 0.24 \cdot 0.09 = 0.0108 \text{ м}^2$.

3. Вычислим радиус $r$ вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4 \text{ см}$.

В системе СИ: $r = \frac{0.0108}{0.27} = 0.04 \text{ м}$.

Таким образом, радиус сферы равен $4 \text{ см}$.

Ответ: $4 \text{ см}$